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函数的平均变化率

“突变”与“渐变”美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”90℃的水烫不死青蛙，不到70℃的水反而烫死了青蛙，这是为什么呢？试验人员把一只青蛙投入90℃的热水盆中，这只青蛙遇到高温刺激，迅速做出反应，“嗖”的一声蹦出了水盆，结果安然无恙。试验人员又把该青蛙投入30℃的冷水盆中,然后开始慢慢加热，当水温还没有达到70℃时，这只青蛙就被烫死了。变化有快有慢之分,有些变化不被人们所察觉,有些变化却让人感叹和惊讶!12345

实例分析1北京市某年3月和4月某天日最高气温记载如下表所示：问题1：从3月18日到4月18日和从4月18日到4月20日，哪一段时间气温变化得更“大”？问题2：从3月18日到4月18日和从4月18日到4月20日，哪一段时间气温变化得更“快”？问题3：如何量化温度变化的“快”与“慢”？

193.5o1323433.8t(d)T(oC)A(1,3.5)B(32,19)C(34,33.8)气温曲线(3月18日为第一天)实例分析1温度随时间变化的图象如图所示问题4：图中哪一段曲线更为“陡峭”？

实例分析2乙的经营成果更好！甲和乙两人做生意，甲用5年时间挣到10万元，乙用6个月时间挣到2万元，甲、乙两人谁的经营成果更好？甲和乙两人做生意，甲挣了10万元，乙挣了2万元。你能否判断甲、乙两人谁的经营成果更好？

如何用数学知识来反映山势的平缓与陡峭程度？

HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示；其中自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度。想想陡峭程度应怎样表示？登山问题x

HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx1x2y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)选取平直山路AB放大研究:若自变量的改变量函数值的改变量直线AB的斜率:

D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直线AB的斜率:直线CD1的斜率:x

竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，即高度的平均变化量越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。单击此处添加标题现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？单击此处添加标题一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。（举例：地球表面与平面）(微分思想)单击此处添加标题也就是说，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。单击此处添加标题

注意各小段的是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来度量。由此我们引出函数平均变化率的概念。

平均变化率的概念：一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记△x=x1－x0，△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).则当△x≠0时，商称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率。

观察函数f(x)的图象平均变化率几何意义是什么?OABxyY=f(x)x0x1f(x1)f(x2)x1-x0=△xf(x1)-f(x0)=△y割线AB的斜率*13

思考：（1）△x、△y的符号是怎样的？该两变量应如何对应？理解：若函数f(x)为常函数时，△y=0；对应性：若

例1．求函数y=x2在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率。解：函数y=x2在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率为1、当取定值,取不同数值时,该函数的平均变化率也不一样.2、x0取正值，并不断增大时，该函数的平均变化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。

感知.体会思考:添加标题求函数f(x)=2x＋1在区间[－3，－1]上的平均变化率。添加标题一次函数y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？添加标题变题.求函数g(x)=－2x在区间[－3，－1]上的平均变化率。添加标题

logo练习：求函数在到之间的平均变化率

3－△x例2．已知函数f(x)=－x2+x的图象上的一点A(－1,－2)及临近一点B(－1+△x,－2+△y),则．

例3、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算下列体重