函数的幂级数展开简.pptxVIP

第七章无穷级数第四节函数的幂级数展开一、泰勒公式二、泰勒级数三、将函数展开幂级数返回

第四节函数的幂级数展开问题导言：计算特殊数值，以及一些基本初等函数的函数值具有广泛的应用价值.解决这些值计算的一种有效方法是利用函数逼近.关于函数逼近首先要考虑两方面问题：一是何种类型函数来逼近给定的函数.二是以何种方式来逼近给定函数.用函数逼近的最简单形式莫过于幂级数.在此主要讨论如何将一个函数表达成幂级数.

一、泰勒公式定理（泰勒公式）设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数,则当时有泰勒展开式

马克劳林公式若在泰勒公式中令，则有（介于0与x之间）.此展开式称为马克劳林公式.称为马克劳林多项式.称为余项.且有拉格朗日型余项.

常用的泰勒公式

的充分必要条件是二、泰勒级数设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有任意阶导数，由泰勒公式可知即由此可知也即当时,有

定理设f(x)在包含点在内的某区间内有任意阶导数.f(x)在点处的泰勒级数在该区间内收敛于f(x)的充分必要条件是在该区间内定义级数，称为f(x)在处的泰勒级数.级数称为f(x)的在x=0处的麦克劳林级数.函数f(x)的泰勒级数收敛于f(x)也称为f(x)可以展开成泰勒级数.

泰勒级数展开的唯一性设f(x)在的某对称区间内可以展开成的幂级数将上式逐阶求导，有

这样就证明了下述定理：以代入上式，有定理(唯一性定理)若f(x)在某区间内可以展开为的幂级数则此幂级数必为其泰勒级数，也即其系数必定为泰勒系数

1.求出f(x)的各阶导数2.计算3.写出f(x)在处的泰勒级数4.求出上述泰勒级数的收敛区间(－R,R)，5.在收敛区间内证明6.写出展开式三、将函数展开成幂级数1.直接展开法用展开定理直接将f(x)展开为泰勒级数的方法为直接展开法，其步骤为

例将展开为马克劳林级数.解求出的n阶导数.因此故函数的马克劳林级数为其收敛区间为.收敛半径为

于是，有由比值法可知正项级数收敛.对任取定的x，则对于任何介于0与x之间的，有所以，由收敛必要条件知所以有展开式

例将f(x)=sinx在x=0处展开为马克劳林级数.解故马克劳林级数为其收敛区间为，因为（位于0与x之间）.

由于为收敛级数，其通项的极限为零，或写为因此，故有

所谓间接展开法,就是利用已知的幂级数展开式,利用幂级数在其收敛区间内的四则运算、分析运算性质,即幂级数逐项加、减,逐项求导、逐项积分等运算,将所给函数展开为泰勒级数.2.间接展开法例将f(x)=cosx展开为麦克劳林级数.解由两边求导得

例将f(x)=ln(1+x)展开为马克劳林级数.解因为上式两端积分得即所以

解因为于是所以积分得例将展开为马克劳林级数.

常用的展开式公式

将函数间接展开成幂级数，通常还使用下述变换法若函数f(x)的幂级数展开为则有解由例将函数展开成幂级数.将x换成可得函数的幂级数展开式.

例求在处的展开式.解令，则.由把上式中t的改写为，即得