简单的三角恒等变换第六节.pptVIP

简单的三角恒等变换第六节第1页，共29页，星期日，2025年，2月5日2．三角函数式的化简化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于某种要求的应用．(1)化简的基本原则．①能求值的尽量求出值；②使三角函数的种类尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简中“次数”与“角”的关系．“次降角升”、“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．常用公式有：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.第2页，共29页，星期日，2025年，2月5日(3)化简中常用技巧：①“1”的代换，1＝sin2α＋cos2α；1＝2cos2α－cos2α；1＝cos2α＋2sin2α，1＝tan等等．②用“弦化切”，“切化弦”的手法来减少函数的种类．3．三角函数式的证明恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两类．无条件时，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简，左右归一，变更论证等．有条件时，常先观察条件及欲证式中左、右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件，变形得证，无论何种情形，基本原则是从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”，或“从右证到左”，或“从两边到中间”地具体操作.第3页，共29页，星期日，2025年，2月5日第4页，共29页，星期日，2025年，2月5日第5页，共29页，星期日，2025年，2月5日【答案】A第6页，共29页，星期日，2025年，2月5日【答案】A第7页，共29页，星期日，2025年，2月5日【答案】1第8页，共29页，星期日，2025年，2月5日第9页，共29页，星期日，2025年，2月5日【答案】acb第10页，共29页，星期日，2025年，2月5日【思路点拨】(1)直接利用公式；(2)利用二倍角公式把“1”消掉，也可利用平方差公式．第11页，共29页，星期日，2025年，2月5日第12页，共29页，星期日，2025年，2月5日第13页，共29页，星期日，2025年，2月5日第14页，共29页，星期日，2025年，2月5日【证明】因为sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，所以sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sinβ()将()式两边同除以sinα得：第15页，共29页，星期日，2025年，2月5日证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．本题三角等式左侧较为复杂，可以从等式左侧入手证明，一步一步推证到等式的右侧，中间也可以采用变更论证等技巧．第16页，共29页，星期日，2025年，2月5日1．求证以下条件恒等式：(1)已知：2sinβ＝sinα＋cosα，sin2γ＝2sinα·cosα，求证：2cos2β＝cos2γ；(2)已知：5sinα＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tanβ＝0.【证明】(1)由已知4sin2β＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2γ，∴1－sin2γ＝2－4sin2β＝2(1－2sin2β)．由此得cos2γ＝2cos2β，∴所证等式成立．第17页，共29页，星期日，2025年，2月5日(2)把5sinα＝3sin(α－2β)化成5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，得5sin(α－β)cosβ＋5cos(α－β)sinβ＝3sin(α－β)cosβ－3cos(α－β)sinβ.移项合并得2sin(α－β)cosβ＋8cos(α－β)sinβ＝0.依题意α≠kπ＋且α－β≠kπ＋，k∈Z.上式两边都除以2cosβcos(α－β)，即得tan(α－β)＋4tanβ＝0.第18页，共29页，星期日，2025年，2月5日已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调区间；(3)若x∈，求f(x)的最大值及最小值．第19页，共29页，星期日，2025年，2月5日第20页，共29页，星期日，2025年，2