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识别ODE系统解的约束条件

NICOLAETARFULEA

摘要.本工作开发了一个框架，用于发现给定一阶常微分方程组初值问题解的各部分之间的关系。

这是通过使用稀疏识别技术对当前初值问题数值解所表示的数据进行处理来实现的。唯一假设是

只有少数几项连接这些组成部分，因此要发现的数学关系在可能函数集合中是稀疏的。我们通过应

用示例说明该方法。

关键词：常微分方程系统，解约束，稀疏识别，源代码

AMS主题分类：34-04,65-04

本

译1.介绍

中本文中，我们探讨了给定常微分方程（ODEs）系统解的各个成分之间的关系发现问题。这

1些成分解决方案中的相互关联可能难以察觉且难以发现，特别是对于那些由大型非线性微分方

v

5程系统建模的现象而言更是如此。然而，找到它们可能会非常有用，并且在这样的调查中涉及计

0

8算机导致了一种从通常超出人类能力理解的模式中提取信息的复兴。

5这项工作受到通过稀疏识别非线性动力学(SINDy)方法从数据中确定非线性动力系统潜在

1

7.结构的启发。SINDy是一种强大的且多功能的框架，利用稀疏回归技术揭示复杂系统的底层动

0态，使其成为科学研究和工程应用中的宝贵工具。开发于[4]的SINDy利用稀疏回归的原则来

5

2识别最简单的模型，其中是状态向量且表示控制方程，描述观察到的动力学，

:

v使其在底层方程未知或仅部分已知的情况下特别有用。尽管本文工作的目标不同，但这里描述

i

x的一些想法和技术与SINDy有某些相似之处。因此，从概述SINDy的基本阶段开始是合乎逻

r

a辑的。

(1)数据收集。收集系统的状态时间序列数据。这些数据可以来自观测和/或实验测量。

(2)候选函数库。构建一个可能代表系统动态的候选函数库，。该库可能包括多项式、

三角函数、指数函数或其他假设能描述系统的基函数。方法的成功在很大程度上取决于

所选择的候选函数库。

(3)稀疏回归。使用稀疏回归技术来识别库中的哪些候选函数对动力学有显著贡献。这些技

术强制稀疏性，以确定控制动力学的库中最相关的项，因为目标是找到用最少项准确描

述数据的模型。从数学上讲，问题在于求解最稀疏的系数向量，使得，其

中是候选库。得到的稀疏向量指示哪些项是重要的，提供了。

自其开发以来，SINDy已在文献中看到了众多后续研究和贡献。这些贡献扩展了它的应用范

围，提高了其鲁棒性，并将其与其它方法集成。例如，Rudy,Brunton,Proctor和Kutz[14]已经将

SINDy框架适应于识别管理时空数据的偏微分方程(PDEs)。Kang,Liao和Liu[9]提出了用于识

DepartmentofMathematicsandStatistics,PurdueUniversityNorthwest,USA,e-mail:ntarfule@

Correspondingauthore-mail:ntarfule@.

1

2尼科拉埃·塔夫勒亚：识别ODE系统解的约束条件

别具有数值时间演化的PDE的技术。他们利用Lasso以提高效率，根据不相干性建立性能保证，

并主要贡献在于通过时间演化误差验证和纠正结果。Schaeffer,Tran和Ward[16]通过整合群稀

疏技术增强了SINDy，使得能够识别具有分岔的动态系统。该方法已被证明能有效识别系统的动

力学和关键分岔点，提供了关于参数变化下系统行为的见解。Loiseau和Brunto