函数展开成幂级数简化.pptxVIP

第五节、函数展开成幂级数利用幂级数的性质（特别是性质3和性质4）1可以求出一些较为复杂的幂级数的和函数2（利用幂级数的和函数又可以求出一些3较为复杂的常数项级数的和）4这是属于由给出的幂级数求和函数的问题，5其反问题为6问题1：给定一个函数f(x)（假定它在区间(a,b)7上具有任意阶导数），如何求出f(x)在区间(a,b)8上的幂级数？9

定理（泰勒中值定理）如果函数f(x)在含有点的区间(a,b)内有直到n+1阶的连续导数，的一个n次多项式与一个余项之和，即则当x在(a,b)内取任何值时，f(x)可以表示为其中一、泰勒公式及泰勒级数

其中称之为马克劳林公式。再令则余项又可以写成

（二）泰勒级数若f(x)在称为f(x)的泰勒级数问题2:除了显然在f(x)的泰勒级数收敛于处，外，泰勒级数是否一定收敛？如果它收敛，它是否一定收敛于f(x)？上具有任意阶导数,则在泰勒公式中,让多项式的项数趋于无穷，得到级数

泰勒级数的前n+1项部分和即为所以有

由泰勒公式有所以有所以

定理：设f(x)在的充分必要条件是则f(x)在该邻域内可以唯一表示(或展开)为泰勒级数内具有任意阶导数，

特别，当称其为f(x)的马克劳林级数。函数f(x)在（1）f(x)在该邻域内是否具有任意阶导数；（2）当时，泰勒级数成为内是否可以展开为泰勒级数或马克劳林级数取决于下面两个条件：时，是否满足

二、函数展开成幂级数（一）直接展开法将f(x)展开成马克劳林级数的步骤如下：如果在x=0处某阶导数不存在，则停止计算。并求出收敛半径R和收敛域I(3)考察在收敛域I内余项的极限

注意：在上述展开中一定要验证条件是否为0，如果为0，则f(x)在收敛域I上的马克劳林展开式即为

例1：将函数展开成马克劳林级数解:(1)(2)写出函数的马克劳林级数求收敛域（3）在收敛域内考察余项的极限

所以例1：将函数展开成马克劳林级数解:(1)在可展成马克劳林级数

例2：将函数展开成马克劳林级数解：利用可以定出所以并可用比值判别法求得收敛域：

例2：将函数展开成马克劳林级数并可用比值判别法求得收敛区间：解：利用可以定出所以可展成马克劳林级数

（二）间接展开法间接展开法是以一些已知函数的幂级数展开式为基础，利用幂级数的性质、变量代换等方法，间接求出一些较为复杂函数的幂级数展开式例如：分别令则得

例1：将函数和分别展开成x的幂级数解：（1）因为所以等式两边关于x求导得

因为×例1：将函数和分别展开成x的幂级数解：

因为例2：将函数展开成x的幂级数解：

例2：将函数展开成x的幂级数解：也收敛所以有

例3：将函数展开成(x?1)的幂级数解：在上式中取

例3：将函数展开成(x?1)的幂级数解：在上式中取

解：例3：将函数展开成(x?1)的幂级数

习题11?5:1(1,6),2,3,8第十一章第五节:作业