函数与集合的势.pptxVIP

第八章函数与集合的势8.1函数的基本概念8.2函数的复合和可逆函数8.3无限集8.4集合势大小的比较8.5鸽巢原理

哪个集合的元素多？A={1,2,3,4,5,?}B={2,4,6,8,10,?}可选答案：A多一样多不能确定

早在1638年，天文学家伽利略发现在一定意义下，正整数的平方数集合S1={1,4,9,16,25,?}的元素一样多。但是，另一方面S1又是S2的真子集。和正整数集合S2={1,2,3,4,5,?}因为，任给一个正整数n?S2，则必有唯一的一个n2?S1，这是一个一一对应，说明S1与S2所含不同元素的数目相等。12345伽利略的困惑

规定用|A|来表示一个集合A所含有的不同元素的多少，称为集合A的势(或称基数)。1显然，|?|=02注意：一般规定card(A)表示集合A的势，而在A是有限集时用|A|表示，本书有限集情况较多，为统一起见用|A|表示。3势(cardinality)

标题01定义1A，B是两个集合，02若存在f:A→B，且f是双射函数，04|A|=|B|03则称集合A与集合B的势相等，记为|A|=|B|

定义2A是一个集合，若存在n?N，使得|A|=|{0,1,?,n-1}|，则称集合A是有限集，并记|A|=n如果A不是有限集，它就是无限集。有限集、无限集

定理1自然数集N是无限集。证明：用反证法，设存在n?N，使得|N|=|{0,1,2,?,n-1}|。令g:{0,1,2,?,n-1}→N是双射。设k=1+max{g(0),g(1),?,g(n-1)}，显然，k?N，但对于任意的x?{0,1,2,?,n-1}，g(x)≠k，因此g不是满射函数，与g是双射函数矛盾。矛盾说明不存在n，使得|N|=|{0,1,2,?,n-1}|。所以，N不是有限集,N是无限集。

一个可数无限集A可以表示为A={a1,a2,?,an,?}02定义3A是一个集合，若|A|=|N|，则称A为可数无限集，记|A|=?0(读作“阿列夫零”,是康托引入的)。01阿列夫零?0

B={n?N│存在k?N，n=2k}显然，B是偶数集，它是自然数集N的真子集。令g:N→B，对于任意的n?N，g(n)=2n不难证明g是双射函数，也即有|B|=|N|=?0例偶数与自然数一样多

例1Z是可数无限集。此时f是双射函数，即有：|Z|=|N|=?0作f:N→Z，?x?N,x2x+12_0x=0x为奇数x为偶数f(x)=0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,…

例2两个可数无限集A和B的A∪B仍然是可数无限集解：设A={a1,a2,…,an,…}考察元素列：消去重复出现的元素，可以建立N中元素与上面序列消去重复出现的元素后剩下的元素安排的次序所建立的元素之间的一一对应，也即B={b1,b2,…,bn,…}a1,b1,a2,b2,…,an,bn,…|A∪B|=?0

例3两个可数无限集A和B的A×B仍然是可数无限集………………(4.4)(4.3)(4.2)(4.1)4…(3.4)(3.3)(3.2)(3.1)3…(2.4)(2.3)(2.2)(2.1)2…(1.4)(1.3)(1.2)(1.1)1…4321解：设A={a1,a2,…,an,…},B={b1,b2,…,bn,…}先把A×B中的元素按一定规则安排出来，见图8.1，每一个有序对(i,j)表示有序对(ai,bj)，按箭头所指方向把A×B中的元素排成一列，对于任意的(i,j)?N×N，有关系(i≥1,j≥1):图8.1两个可数无限集的排列图f(i,j)=[(i+j)2-i-3j]21

定理2无限集存在可数子集A是一个任意无限集，则A中存在子集A’，|A’|=?0证明：任取A中的一个元素，记a0?A’；在A??{a0}中任意取一个元素，记a1?A’，…，以此类推。若A’?{a0,a1,…,an-1}，在A?{a0,a1