高等数学课件-D92偏导数.pptxVIP

2025/7/23同济版高等数学课件第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数第九章

一、偏导数定义及其计算法2025/7/23同济版高等数学课件引例:01研究弦在点x0处的振动速度与加速度,02就是03中的x固定于x0处,04求05一阶导数与二阶导数.06关于t的07将振幅08

定义1.2025/7/23同济版高等数学课件在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:

同样可定义对y的偏导数2025/7/23同济版高等数学课件若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,

例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)注意：偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商。

二元函数偏导数的几何意义:2025/7/23同济版高等数学课件是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的

函数在某点各偏导数都存在,2025/7/23同济版高等数学课件上节例显然例如,注意：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!

例1.求2025/7/23同济版高等数学课件解法1解法2在点(1,2)处的偏导数.先求后代先代后求

例2.设2025/7/23同济版高等数学课件证:例3.求的偏导数.解:求证

例4.已知理想气体的状态方程2025/7/23同济版高等数学课件偏导数记号是一个求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,

二、高阶偏导数2025/7/23同济版高等数学课件设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:

类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为

例5.求函数2025/7/23同济版高等数学课件解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及

例如,2025/7/23同济版高等数学课件二者不等

例6.证明函数2025/7/23同济版高等数学课件满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程

定理.2025/7/23同济版高等数学课件证明则例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)

定理.01证:令02则03则04又令05

同样在点连续,得

内容小结2025/7/23同济版高等数学课件1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)

思考与练习2025/7/23同济版高等数学课件解答提示:P129题5P129题5,6即x＝y＝0时,

P129题62025/7/23同济版高等数学课件(1)(2)

作业P681（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）12

备用题2025/7/23同济版高等数学课件设方程确定u是x,y的函数,连续,且求解: