Strassen2 × 2 矩阵乘法来自一个三维体积形式-计算机科学-机器学习-算法.pdf

Strassen矩阵乘法来自一个三维体积

形式

BenoitJacob

AMD

benoit.jacob@

本

译

中摘要

斯特拉森矩阵乘法算法源于矩阵在恒等式的倍数下，3维商

1

v空间的体积形式。

0

1

51介绍

3

1

.

7斯特拉森的矩阵乘法算法[1]是一个用于乘法运算的公式矩

0

5阵和:

2trtrtrtr(1)

:

v

i

x其中是单位矩阵，tr是迹，是常数矩阵。此公式是矩阵乘法张量

r

a的秩7分解，也就是说，将矩阵乘法分解为7个简单张量之和。

这可以递归应用于将矩阵相乘，时间复杂度为loglog，大

约是，从而开辟了一个研究领域，该书[2]为其提供了介绍。一项

研究集中于进一步改进这种渐近复杂性，尤其是[3]，[4]达到了并

且有一些改进，最近是[5]和[6]，接近。另一条研究路线致力于分

解其他小矩阵尺寸的矩阵乘法张量，例如、等。这些通常涉及数

值有哪些信誉好的足球投注网站，比如最近的[7]。

尽管取得了这些进展，比更快的矩阵乘法算法“几乎从未被实

现”[8]，并且诸如[9]等实际评估继续倾向于Strassen算法。其他小矩

阵尺寸已知的算法难以显著改进：必威体育精装版的表格[10]显示复杂度指数聚集在

2.8左右。对于矩阵乘法，Strassen算法的张量秩为，这种情

1

况在超过55年的时间里一直是最先进的，直到[7]和[11]将其从49降低到

48，实现了复杂度指数。此外，已知具有显著较低渐近复杂性的算法往

往在中有较大的常数，如在[12]中讨论的那样。

Strassen算法从理论角度看也十分突出：其张量秩7已知为最优

[13]，并且在该约束下它本质上是唯一的[14]。相比之下，矩阵乘法的

张量秩对于所有而言仍然未知。对于，其目前只知道在19到

23之间，参见[15]。

最优性和唯一性使Strassen的算法成为二维线性代数的基本事实。

这些事实应该简单且具有几何意义。然而，Strassen算法的原始陈述和证明

是对矩阵系数的计算。这激发了对几何解释的探索。特别是最近的[16]和[8]

对本文有所启发，而[8]包含了对此项努力的综述，并追溯到原始Strassen

文章[1]发表后的几年。其他近期的相关研究文章包括[17],[18],[19