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高中数学排列组合易错题分析

排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析，以飨读者.

1没有理解两个基本原理出错

排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.

例1（1995年上海高考题）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种.

误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.

错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.

正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有种方法，据乘法原理共有种方法.同理，完成第二类办法中有种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有种方法.

例2在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种.

（A）?????????（B）??????（C）???????（D）

误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.

错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.

正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有种.

说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.

2判断不出是排列还是组合出错

在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.

例3有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？

误解：因为是8个小球的全排列，所以共有种方法.

错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.

正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：排法.

3重复计算出错

在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。

例4（2002年北京文科高考题）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）

（A）480?种????（B）240种????（C）120种?????（D）96种

误解：先从5本书中取4本分给4个人，有种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有种不同的分法，选A.

乙丙丁甲表1乙丙丁甲表2错因分析：设5本书为a、b

乙

丙

丁

甲

表1

乙

丙

丁

甲

表2

取同一个数时方程有1个，共有个.

错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于同解、同解，故要减去2个。

正解：由分析，共有个解集不同的一元二次方程.

6未考虑特殊情况出错

在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.

例9现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）

(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种

误解：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有种.

错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况.

正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有种.

7题意的理解偏差出错

例10现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种.

（A）???（B）??（C）???（D）

误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有种方法，这样共有种排法，选A.

错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有