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2012中考数学压轴题及答案40例（2）

5.如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．

（1）求证：点为线段的中点；

（2）求证：①四边形为平行四边形；

②平行四边形为菱形；

（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．

（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知．

，，

． （1分）

，即为的中点． （2分）

法二：，，． （1分）

又轴，． （2分）

（2）①由（1）可知，，

，，

． （3分）

，

又，四边形为平行四边形． （4分）

②设，轴，则，则．

过作轴，垂足为，在中，

．

平行四边形为菱形． （6分）

（3）设直线为，由，得，代入得：

直线为． （7分）

设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：

，，解得．得公共点为．

所以直线与抛物线只有一个公共点． （8分）

6.如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.

（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；

（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；

（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（1）∵点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，

∴m=-2×(-2)-1=3.………………（2分）

∴B(-2,3)

∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，

∴点A的坐标为(4,0).

设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).……（3分）

将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴.

∴所求的抛物线对应的函数关系式为，即.（6分）

（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).

过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，

ABCODExyx=

A

B

C

O

D

E

x

y

x=2

G

F

H

在Rt△BGC中，BC=.

∵CE=5，

∴CB=CE=5.……（9分）

②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，

则点H的坐标为H(0,-5).

又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，

∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.

∴△DFB≌△DHE（SAS），

∴BD=DE.

即D是BE的中点.………………（11分）

（3）存在.………………（12分）

由于PB=PE，∴点P在直线CD上，

∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.

将D(0,-1)C(2,0)代入，得.解得.

∴直线CD对应的函数关系式为y=x-1.

∵动点P的坐标为(x，)，

∴x-1=.………………（13分）

解得，.∴，.

∴符合条件的点P的坐标为(，)或(，).…（14分）

(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0，－4）、B（，0）、C（，0）三点，且-=5．

（1）求、的值；（4分）

（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分）

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）

解：

（解析）解：（1）解法一：

∵抛物线=－++经过点A（0，－4），

∴=－4……1分

又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，

∴+=，=－=6 2分

由已知得（-）=25

又（-）=（+）－4=－24

∴－24=25

解得=± 3分

当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．

∴=－． 4分

解法二：∵、是方程－++c=0的两个根，

即方程2－