第12讲 函数的单调性与最值（解析版）--2025年新高一暑假数学自学.pdfVIP

第12讲函数的单调性与最值

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知识点1单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的

值x，x12

定义当xx时，都有f(x)11

2

当xx时，都有f(x)f(x)，那么就说函数f(x)在区间

1212

f(x)，那么就说函数f(x)在区

2

D上是增函数

间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

知识点2单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区

间D叫做y=f(x)的单调区间．

【注意】

（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，

则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能是开区间。

（2）单调区间D⊆定义域I。

（3）遵循最简原则，单调区间尽可能大。

（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和来表示。”

知识点3函数单调性的判断

1、定义法证明函数单调性的步骤

①取值：设x，x为区间nei任意的两个值，且xx；

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1

②作差变形：f(x)-f(x)，通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变

12

形；

③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；

④下结论：根据定义做出结论。

2、函数的复合：f(x)+g(x)=h(x)f(x)-g(x)=h(x)

f(x)+g(x)=h(x)f(x)-g(x)=h(x)

增+增=增增-增

增+减增-减=增

减+减=减减-减

减+增减-增=减

注意：加同不变，减异随前。

3.复合函数：y=fg(x)

u=g(x)内函数y=f(u)外函数y=fg(x)

增