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一种基于Gromov-Wasserstein距离的降维技术

RafaelPereiraEufrazioEduardoFernandesMontesumaCharlesCasimiroCavalcante

InstitutoFederaldeEducação,CiênciaeTecnologiadoCeará,Canindé-CE,Brazil

FederalUniversityofCeara,Fortaleza-CE,Brazil

UniversitéParis-Saclay,CEA,List,F-91120Palaiseau,France

摘要—分析对象之间的关系是数据科学中的一个关键问题。量没有考虑局部层面上点之间的潜在关系。为了解决这

在这种情况下，采用降维（DR）技术生成更小且更易于管理个问题，我们考虑GromovWasserstein(GW)距离[3]，

的数据表示形式。本文提出了一种新的基于最优传输理论和这是一种用最优传输理论定义的度量[4]。从这个意义

Gromov-Wasserstein距离的降维方法。我们提供了对经典

上说，我们提供了一个关于MDS的概率视角以及扩展

多维缩放（MDS）算法以及扩展了经典MDS的非线性降维算

法Isomap（等距映射或等距特征映射）的新概率解释，在其经典MDS的算法。Isomap（等距映射或等距特征映射）

本中我们使用高维数据的概率测度与其低维表示之间的Gromov-是另一种非线性降维方法，它保留了测地距离而不是直

译Wasserstein距离。通过梯度下降，我们的方法将高维数据嵌接的欧氏距离。这种方法对于位于低维流形上的数据特

中入到低维空间中，为分析复杂高维数据集提供了稳健且高效的解别有效，能够更忠实捕捉局部关系。

决方案。

2

vIndexTerms—降维，最优传输，Gromov-Wasserstein.最近，在[5]，[6]和[7]中，不同的作者通过概率

2

3透镜分析了DR问题。从这个意义上说，假设高维数据

7的底层概率测度具有某种形式。因此，低维表示被优化

3I.介绍

1以匹配这种测度。在这种情况下，OptimalTransport

1.分析对象之间的关系是数据科学中的一个关键问(OT)是比较和操作概率测度[8]的自然工具。在DR中

0题。在此背景下，MultidimensionalScaling(MDS)是一

5的一个主要挑战是与相关的概率测度存在于不同的

2种基于这些对象在原始空间中的相似度或不相似度，在

:空间中，不同于的空间。因此，用于比较这些对象

v低维空间中表示这些对象的技术[1]。因此，这种方法属

i的一个自然候选者是GW距离[3]。在本文中，我们介

x于更广泛的一类技术——即DimensionalityReduction

r绍了一种基于GW度量执行MDS的实用算法。

a(DR)，这是无监督学习和机器学习领域的一个问题。在

此背景下，数据的低维表示提供了诸多优势，例如改善我们总结我们的贡献如下。首先，我们提供了经典

了模式识别和结构识别，并且对于后续任务处理速度MDS问题和Isomap算法的一种新的概率视角。这一新

更快。我们建议读者参阅[2]以了解DR算法和原理的颖