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泛函分析题目集及答案

一、选择题（共30分）

1.（3分）泛函分析中，Banach空间是指什么？

A.完备的赋范线性空间

B.完备的内积空间

C.完备的度量空间

D.完备的拓扑空间

答案：A

2.（3分）在泛函分析中，紧算子的定义是什么？

A.将有界集映射到有界集的线性算子

B.将有界集映射到相对紧集的线性算子

C.将有界集映射到紧集的线性算子

D.将紧集映射到紧集的线性算子

答案：B

3.（4分）如果X是一个Banach空间，Y是一个Hilbert空间，那么从X到Y的线性算子T是连续的，当且仅当：

A.T是有界的

B.T是紧的

C.T是单射的

D.T是满射的

答案：A

4.（5分）在泛函分析中，Hahn-Banach定理的主要作用是什么？

A.提供了一种方法将线性泛函从子空间扩展到整个空间

B.提供了一种方法将线性泛函从整个空间限制到子空间

C.提供了一种方法将线性泛函从紧空间扩展到非紧空间

D.提供了一种方法将线性泛函从非紧空间限制到紧空间

答案：A

5.（5分）在泛函分析中，弱收敛和强收敛的区别是什么？

A.弱收敛是元素序列在范数意义下的收敛，强收敛是元素序列在内积意义下的收敛

B.弱收敛是元素序列在内积意义下的收敛，强收敛是元素序列在范数意义下的收敛

C.弱收敛是元素序列在范数意义下的收敛，强收敛是元素序列在距离意义下的收敛

D.弱收敛是元素序列在距离意义下的收敛，强收敛是元素序列在范数意义下的收敛

答案：B

6.（5分）在泛函分析中，闭图定理的主要作用是什么？

A.证明线性算子的连续性

B.证明线性算子的紧性

C.证明线性算子的单射性

D.证明线性算子的满射性

答案：A

7.（5分）在泛函分析中，Fredholm选择定理的主要作用是什么？

A.提供了一种方法选择线性算子的核和余核

B.提供了一种方法选择线性算子的值域和零空间

C.提供了一种方法选择线性算子的紧性和有界性

D.提供了一种方法选择线性算子的连续性和单射性

答案：B

二、填空题（共20分）

1.（4分）在泛函分析中，一个线性算子T:X→Y是连续的，当且仅当它在X的每一个有界集上都是______的。

答案：有界的

2.（4分）在泛函分析中，一个线性算子T:X→Y是紧的，当且仅当它将X中的每一个有界集映射到Y中的______集。

答案：相对紧的

3.（4分）在泛函分析中，Hahn-Banach定理保证了线性泛函可以从一个向量空间的子空间______到整个空间。

答案：扩展

4.（4分）在泛函分析中，如果一个序列{x_n}在Banach空间X中弱收敛到x，那么对于每一个连续线性泛函f∈X，序列{f(x_n)}在实数域或复数域中强收敛到______。

答案：f(x)

5.（4分）在泛函分析中，闭图定理指出，如果T:X→Y是一个线性算子，并且它的图是X×Y中的一个闭集，那么T是______的。

答案：连续的

三、简答题（共30分）

1.（10分）简述泛函分析中Banach空间的定义及其重要性。

答案：Banach空间是一个完备的赋范线性空间，即在该空间中，每一个柯西序列都收敛于该空间内的某一点。Banach空间的重要性在于它提供了一个研究无穷维空间中函数和算子性质的框架，是泛函分析中最基本的研究对象之一。

2.（10分）解释泛函分析中紧算子的概念及其在研究中的作用。

答案：紧算子是指将定义域中的有界集映射到值域中的相对紧集的线性算子。在泛函分析中，紧算子的研究对于理解线性算子的谱性质、不动点理论以及非线性算子的某些性质具有重要作用。

3.（10分）描述泛函分析中弱收敛和强收敛的区别，并给出一个例子。

答案：弱收敛是指在Banach空间中，一个序列{x_n}弱收敛到x，当且仅当对于每一个连续线性泛函f∈X，序列{f(x_n)}强收敛到f(x)。强收敛则是指序列{x_n}在范数意义下收敛到x，即‖x_n-x‖→0。例如，在l^2空间中，序列{e_n}（其中e_n是第n个标准基向量）弱收敛到0，但不强收敛到0。

四、计算题（共20分）

1.（10分）设X是一个Banach空间，Y是一个Hilbert空间，线性算子T:X→Y是连续的。证明T是有界的。

证明：由于T是连续的，对于X中的每一个有界集B，T(B)在Y中是有界的。根据Banach-Steinhaus定理，T是有界的。

2.（10分）设X是一个Banach空间，线性算子T:X→X是紧的。证明T的谱仅包含0和特征值。

证明：由于T是紧的，根据Fredholm选择定理，T的值域是闭的，核是有限维的。因此，T的谱仅包含0和特征值。

五、证明题（共20分）

1.（10分）证明Hahn-Banach定理。

证明：设p是X的一个子空间M