新课标高考总复习数学26第三章第6课时微点突破3隐零点问题41.pdfVIP

第三章一元函数的导数及其应用

第6课时利用导数解决函数的零点问题

第6课时利用导数解决函数的零点问题典例精研核心考点微点突破课时分层作业

典例精研核心考点

考点一判断、证明或讨论函数零点的个数

解：f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：

因为f′(x)＝sinx＋xcosx，

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当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，

即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)上单调递减．

又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在(m，π)上的图象是连续不断的，从而

f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．

综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．

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利用导数求函数的零点个数的常用方法

(1)数形结合法．利用导数研究函数的性质，画出相应函数的图象，

数形结合求解．

(2)零点存在定理法．先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性

质确定函数有多少个零点．

(3)分离参数法．转化为一条直线与一个复杂函数图象交点个数问题．

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xx

设h(x)＝xe，则h′(x)＝(x＋1)e，

当x＜－1时，h′(x)＜0，当－1＜x＜0，x＞0时，h′(x)＞0，

x

所以h(x)＝xe在(－1,0)，(0，＋∞)上单调递增；

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x

据此可画出h(x)＝xe的大致图象如图，

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考点二已知函数零点个数求参数的取值范围

[典例2](2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．

[思维流程]

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解：(1)f(x)的定义域为(－1，＋∞)，

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x2

设g(x)＝e＋a(1－x)，

x2

①若a0，当x∈(－1,0)时，g(x)＝e＋a(1－x)0，即f′(x)0，

所以f(x)在(－1,0)上单调递增，f(x)f(0)＝0，

故f(x)在(－1,0)上没有零点，不合题意．

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