算法12-最短路径-弗洛伊德(Floyd)算法.pptxVIP

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2025-07-24 发布于四川
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算法12-最短路径-弗洛伊德(Floyd)算法.pptx

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11.问题的提出：已知一个各边权值均大于0的带权有向图，对每一对顶点vi?vj，要求求出vi与vj之间的最短路径和最短路径长度。2.解决办法方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次——T(n)=O(n3)方法二：弗洛伊德(Floyd)算法

初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧Vi,Vj，则对应元素为权值；否则为?逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值所有顶点试探完毕，算法结束Floyd算法思想：逐个顶点试探法求最短路径步骤

从图的带权邻接矩阵G.arcs出发，假设求顶点Vi到Vj的最短路径。如果从Vi到Vj有弧，则从Vi到Vj存在一条长度为G.arcs[i][j]的路径，但该路径是否一定是最短路径，还需要进行n次试探。第一次，判别（Vi,V0）和（V0，Vj），即判别(Vi,V0,Vj）是否存在，若存在，则比较（Vi,Vj）和(Vi,V0,Vj）的长度，取长度较短的为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于0的最短路径。12

第二次，再加一个顶点V1，如果(Vi,…,V1）和(V1,…,Vj）分别是当前找到的中间顶点序号不大于0的最短路径，那么(Vi,…,V1,…,Vj）就有可能是从Vi到Vj的中间顶点序号不大于1的最短路径。将它和已经得到的从Vi到Vj之间顶点序号不大于0的最短路径相比较，取较短者为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于1的最短路径。第三次，再加一个顶点V2，继续进行试探。

V2V3V0V11234568901230123012400923508016088D(-1)=D(-1)为有向网的邻接矩阵第一步:以D(-1)为基础，以V0为中间顶点，求从Vi到Vj的最短路径。该路径或者为从Vi到Vj的边,或者为(Vi,V0)+(V0,Vj)。D(0)[i][j]=min{D(-1)[i][j],D(-1)[i][0]+D(-1)[0][j]}47D(0)=D(0)[i][j]为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于0的最短路径长度.V0

V2V3V0V112345689以D(0)为基础，以V1为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短路径。该路径或者为从Vi到Vj的边,或者为从Vi开始通过V0或V1到达Vj的最短路径。D(1)[i][j]=min{D(0)[i][j],D(0)[i][1]+D(0)[1][j]}01230123012400923508016088A(-1)=47D(0)=1036D(1)=V0V1V0V1

V2V3V0V112345689以D(1)为基础，以V2为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短路径。或者为从Vi到Vj的边,或者为从Vi开始通过V0,V1,V2到达Vj的最短路径。D(2)[i][j]=min{D(1)[i][j],D(1)[i][2]+D(1)[2][j]}01230123012400923508016088A(-1)=47A(0)=1036D(1)=D(2)=910V0V1V2

01230123012400923508016088A(-1)=47A(0)=1036A(1)=D(2)=910D(3)=V2V3V0V112345689以D(2)为基础，以V3为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短路径。或者为从Vi到Vj的边,或者为从Vi开始通过V0,V1,V2,V3到达Vj的最短路径。D(3)[i][j]=min{D(2)[i][j],D(2)[i][3]+D(2)[3][j]}9118V3V2V0V1D(3)[i][j]即为从Vi到Vj的最短路