新课标高考总复习数学课时分层作业49206.pdfVIP

课时分层作业(四十九)

(本试卷共60分．)

1．(15分)(2025·济南期末)如图，在三棱柱ABC-ABC中，四边形AABB是菱

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形，AB⊥AC，平面AABB⊥平面ABC．

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(1)证明：AB⊥BC．

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π

(2)已知∠ABB＝，AB＝AC＝2，平面ABC与平面ABC的交线l.在l上是

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1

否存在点P，使直线AB与平面ABP所成角的正弦值？若存在，求出线段

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BP的长度；若不存在，试说明理由．

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解：(1)证明：因为平面AABB⊥平面ABC，平面AABB∩平面ABC＝AB，AC

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⊥AB，AC⊂平面ABC，

所以AC⊥平面AABB．

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因为AB⊂平面AABB，所以AC⊥AB．

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因为四边形AABB是菱形，所以AB⊥AB．

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又因为AC∩AB＝A，AC，AB⊂平面ABC，所以AB⊥平面ABC．

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因为BC⊂平面ABC，所以AB⊥BC．

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(2)假设存在满足题意的点P，取AB的中点D，连接AD，如图所示．

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因为四边形AABB为菱形，所以AB＝BB.

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又因为∠ABB1＝60°，则△ABB1为等边三角形．

由菱形的几何性质可知∠AAB＝60°，AA＝AB，则△AAB也为等边三角形．

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因为D为AB的中点，则AD⊥AB.因为AB∥AB，所以AB⊥AD.

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由(1)知，AC⊥平面AABB，以点A为坐标原点，AB，AD，AC所在直线分别为

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x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

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则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,0,2)，A(－1，，0)，B(1，，0)，

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