函数的单调性与极值.pptxVIP

1、函数极值的概念2、函数极值的求法2.4函数的极大值与极小值教学目的：.理解极大值、极小值的概念.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.掌握求可导函数的极值的方法步骤.教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的方法步骤.教学难点：对极大值、极小值概念的正确理解.

复习xyOx0函数单调递增函数单调递减f?(x)0f?(x)=0f?(x)0１、函数的导数与函数的单调性的关系２、用导数求函数单调区间的方法步骤

利用导数判断函数的单调性判定定理：设函数y=f(x)在某个区间内有导数.如果在这个区间内y′0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数;(2)如果在这个区间内y′0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.xOyy?f(x)abf?(x)0单调递增xOyy?f(x)abf?(x)0单调递减(3)如果在这个区间内y′=0，那么y=f(x)为这个区间内的常数函数.

学习新课观察下面的函数图象oxyoxyab可以看出:函数在x=a的函数值f(a)比它临近点的函数值都要大;在x=b的函数值f(b)比它临近点的函数值都要小.象这样的点我们把它叫做极值点.f(a)是函数的一个极大值,f(b)是函数的一个极小值.

函数极值的概念一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值，记作：y极大值=f（x0），点x0是f(x)的一个极大值点;函数的极大值与极小值统称为函数的极值.使函数取得极值的点称为极值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值，记作：y极小值=f（x0），点x0是f(x)的一个极小值点；

观察与思考：yxO在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。aby=f(x)x1f?(x1)=0x2f?(x2)=0x3f?(x3)=0x4f?(x5)=0x5换句话说,极值点处的导数都为零.但是导数为零的点不一定是极值点.如图中x=x5处不是极值点.如何根据函数的导数确定函数的极值点呢?1.图中有几个极值点?2.极值与导数有何关系？4个极值点.

继续观察可导函数的图象oxyoxyabf′(a)=0f′(x)0f′(x)0f′(b)=0f′(x)0f′(x)0可以看出:曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负.曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.

yxOx1x2aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近f?(x)0f?(x)0f?(x)0f?(x)0也就是说，先求出y′=0的根，再检查y′在方程y′=0的根的左右附近的符号，就可以确定函数的极值了。

函数极值的判定定理判别f(x0)是极大、极小值的方法:

函数极值的求法求导数f′(x)；求可导函数f(x)的极值点和极值的方法步骤：(1)确定函数的定义域；01检查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,在根的右侧附近为正,那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值.如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.(3)求方程f′(x)=0的根;02

当x变化时,y′,y的变化情况如下表:因此,当x=－2时y有极大值,并且y极大值=28/3;当x=2时y有极小值,并且y极小值=-4/3.解：函数y的定义域为(－∞,＋∞)；y′=x2-4=(x-2)(x+2)令y′=0得x1=－2,x2=2例1求函数y=x3-4x+4的极值.极小值-4/3极大值28/3+-+y00y′(2,+∞)2(-2,2)-2(-∞,-2)x

例2求y=(x2-1)3+1的极值.解:函数的定义域为(-∞,+∞);y′=6x(x2-1)2令y′=0,解得x1=-1,x2=0,x3=1.当x变化时,y′,y的变化情况如下表:X(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y′-0-0+0+y递减无递减极小值递增无递增由上表知,当x=0时,y有极小值,并且y极小值=0.

函数f(x)在点x0及