新课标高考总复习数学54第七章第2课时球的切、接与截面问题88.pdfVIP

第2课时球的切、接与截面问题

考点一简单几何体的外接球

柱体的外接球问题

[典例1](1)已知直三棱柱ABC-ABC的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠

111

3π

BAC＝，AA1＝BC＝2，则球O的体积为()

4

A．43πB．8π

C．12πD．20π

(2)(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-ABCD中，AB＝4，O为AC的中点，若

11111

该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是.

(1)A(2)[22，23][(1)在△ABC中，由正弦定理得△ABC所在的截面圆的半

BC2

径为r＝2sin∠BAC＝3π＝2，

2sin

4

AA1

2222

则直三棱柱ABC-ABC的外接球的半径为R＝r＋()＝2＋1＝

1112

3

，

4

33

则直三棱柱ABC-ABC的外接球的体积为πR＝4π.故选A．

1113

(2)设球O的半径为R.当球O是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，

所求的球O的半径最大．若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没

有交点．

4242423

正方体的外接球直径2R′为体对角线长AC1＝＋＋＝4，即2R′＝

43，得R′＝23，故Rmax＝23.

如图，分别取侧棱AA，BB，CC，DD的中点M，H，G，N，显然四边形MNGH

1111

是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线的交点．

连接MG，则MG＝42，当球O的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆时，

球O的半径达到最小，即Rmin＝22.综上，R∈[22，23]．]

3π

[拓展变式]若将本例(1)的条件“∠BAC＝，AA1＝BC＝2”换为“AB＝3，AC

4

＝4，AB⊥AC，AA1＝12”，则球O的半径为________.

13

[如图所示，过球心O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.

2

1515

又AM＝B