《应用题》经典方阵问题基本知识-4星题（含解析）全国通用版.docxVIP

应用题-经典应用题-方阵问题基本知识-4星题

课程目标

知识点

考试要求

具体要求

考察频率

方阵问题基本知识

B

1.明确空心方阵和实心方阵的概念及区别

2.掌握空心方阵和实心方阵的变化规律

少考

知识提要

方阵问题基本知识

概述

在日常生活中，我们常把人或物排成正方形的形状，在数学上我们把研究这样的问题称为方阵问题。

在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵，也叫中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵，也叫中空方阵。

实心方阵的特点

总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数

空心方阵的特点

总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数-层数）×层数×4?

奇数层：总人数=中间层总数×层数

偶数层：总人数=（外层+内层）×层数÷2

若最外层每边有a人，内部虚方阵每边有b人，则空心方阵共有(a2-

变化规律

相邻两边之间相差2；

相邻两层之间相差8；

每层人（或物）数=每边人（或物）数×4-4=[每边人（或物）数-1]×4

精选例题

方阵问题基本知识

1.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲、乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好可以填满丙方阵的空心，那么，五年级参加广播操比赛的一共有?人．

【答案】????260

【分析】????根据题意，乙方阵加上两个甲方阵的人数128人可以构成实心的丙方阵，且丙方阵每边人数比乙方阵多4人，所以由b+42-b2=128，得到：4×(2×b+4)=128，所以b＝14，因此乙方阵每边人数

2.有一些人组成2个正方形方阵，2个正方形方阵之间相差97个人，那么这2个正方形方阵一共有?人．

【答案】????4705

【分析】????假设A方阵有a人，B方阵有b人，那么应该有b2-a2=97，因此

3.有196枚围棋子，摆成一个14×14的正方形．甲、乙两人依次从最外一层起取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了?枚棋子．

【答案】????28

【分析】????196枚围棋子围成的方阵，最外层棋子数为14×4-4=52，相邻两层棋子数相差8，从外向内每一层棋子数为：52、44、36、28、20、12、4．所以甲取走了52+36+20+4=112(枚)棋子，乙取走了44+28+12=84(枚)棋子，甲比乙多取了112-84=28

4.东风小学仪仗队的同学们排队，若排成正方形，则多余12名同学，如果把这个正方形扩大，纵横每排各增加一人，则缺少9人?．

【答案】????112

【分析】????增加的一行一列有12+9=21(人)，那么原来排成的正方形的每条边上有(21-1)÷2=10(人)，东风小学仪仗队有学生

5.一个正方形方阵，其中的4行5列的人数总和为250人，那么如果将这个方阵去掉一行一列还剩?人．

【答案】????841

【分析】????4行5列，包括重复计算的：250＋20＝270人，每行：270÷9＝

6.有大小相同的正方形白石和黑石各n个．首先，将黑石不留空隙地摆成一个正方形，然后在其外围摆一圈白石，再用剩下的黑石在白石圈的外围摆一圈，最后再用剩下的白石在黑石的外围再摆一圈，正好将所有石子用完（如下图所示）．那么2n=?．

【答案】????144个

【分析】????如上图所示，记最外层的一圈白石为a个，它里面的一圈黑石为b个，再里边的一圈白石为c个，最中间的黑石组成的正方形再分成外面一圈(d个)和里面的正方形(e

注意到a-b=b-c=c-d=8，所以c=d+8,b=d+16,a=d+24．因为黑石的总数=白石的总数，所以

最大的正方形的每一边有4+4×2=12（个）石子，所以石子的总数为12×12=144（个）．

7.小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了?枚棋子．

【答案】????285

【分析】????45=3×3×5，它小于19的最大约数为15，所以不变的边长应为15，另一边最长为19，所以小虎最多用了15×19=285（枚）棋子．

8.在一个实心学生方阵中加入