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四旋翼飞行器的运动学建模分析

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TOC\o1-3\h\u15778四旋翼飞行器的运动学建模分析 1

211501.1结构与工作原理 1

92151.2参考坐标系的建立与转换 2

275361.3运动学模型的建立 3

1.1结构与工作原理

四旋翼无人机的结构相对简单，旋翼与电机可以直接相连，而使全机运动的主体也只有旋翼和电机两部分。四组旋翼通常分布在无人机机身部分的4个顶点之上。连接旋翼与无人机的中心部分的机轴则通常呈垂直交叉状分布，且与旋转轴相平行。四旋翼无人机的旋翼通常采用定螺距叶片，同时两对相邻的旋翼旋转方向相反，这是因为相反的运动方向可以使由于旋翼旋转而产生的扭矩相互抵消，防止四旋翼无人机由于扭矩不平衡的问题而产生自旋[31]。四旋翼飞行器的任何运动都可以直接通过改变四个旋翼的转速来进行调节，实现对无人机飞行的控制，如图1.1所示。

图1.1四旋翼飞行器飞行原理简图

Fig1.1Flightprinciplediagramofquadrotoraircraft

如图1.1（a）所示，展示的是四旋翼飞行器的垂直和悬停运动，当四个旋翼同时旋转时，会给无人机提供一个升力，但同时也会收到一个空气所给予的反扭力导致无人机产生自旋，而相邻电机的反转正是为了抵消这个反扭力，这样就可以使无人机稳定地在竖直方向上进行运动。在理想情况下，当飞行器的四个旋翼所产生的总升力F合大于该无人机的重力mg时，便可使该机垂直上升；小于重力时便会垂直下降；等于重力时便能保证空中悬停。

如图1.1（b）所示，展示的是四旋翼飞行器的横滚和横向运动。在上述悬停的情况下，如果保持2号，4号旋翼转速不变，增加左侧1号旋翼的转速，减小3号，这时，由于旋翼转速不同，就会导致无人机受力不均，从而产生一个顺时针方向的横滚力矩，会使飞行器往右侧移动，同时做横滚运动。

保持1号，3号转速不变，加大上侧4号的转速，同时减小下侧2号旋翼的转速，则飞行器会受到一个顺时针方向的俯仰力矩，会使飞行器往2号旋翼方向移动，同时做出俯仰运动，如图1.1（c）所示。

如果同时增加2，4号旋翼转速，减小1，3号旋翼转速，并且所有旋翼的变化幅度相同时，会使飞行器产生一个逆时针方向的偏航力矩，使得飞行器做逆时针转动[18~20]。

1.2参考坐标系的建立与转换

想要实现四旋翼飞行器的数学建模就必须获得无人机的实时位置和速度信息，为此就必须建立两个不同的参考坐标系，一个是基于地面的惯性坐标系（X,Y,Z），另一个是基于机体自身的机体坐标系（x，y，z）。惯性坐标系中，我们先设定地面的东方为X轴，基于右手定则的规律，则地面正北方为y轴，地面正上方则为Z轴。机体坐标系则取四旋翼的重心为坐标原点进行考虑。

无人机在空间中的状态主要通过位置和姿态两个方面进行考虑。位置主要通过惯性坐标系中的三坐标变化来体现。姿态则通常用三个角度：横滚角，俯仰角，和偏航角来进行描述。对应到无人机状态变化中则分别以向右滚动，向上抬头和正向偏航三种动作来体现。在惯性坐标系中则以机体坐标系绕其所产生的转动角度来进行计算。其转换关系可表示如式（1.1）：

（1.1）

其中R为机体坐标系与惯性坐标系之间相互转化的变换矩阵，其表达式为

（1.2）

1.3运动学模型的建立

对无人机系统进行动态数学模型的建立需要一定的基础，因此在这里给出一些无人机系统模型的基础假设：

该四旋翼无人机为对称刚体结构，其所有部件均作为刚体进行处理，所有结构都位于同一平面内，且完全对称。

该无人机的质心与无人机的机体坐标系的坐标原点相互重合。

无人机在空中飞行时不考虑地球对其产生的影响，将地面作为惯性坐标系，同时无人机处于低速飞行状态。

在上一节的基础上得到了变换矩阵R，则变换矩阵满足了以下的基本性质

R的倒置矩阵与其逆矩阵相等，即变换矩阵R为正交矩阵。

变换矩阵R满足式（1.3）：

（1.3）

其中，为反对称矩阵，其中ω=[pqr]为机体坐标系下为了进行姿态控制而使用的角速度。

与之相对，平移的运动学方程则表示为式（1.4）

，（1.4）

其中V=[VXVYVZ]为惯性坐标系下的速度。

这样就可以得到旋转运动的运动学方程

，（1.5）

其中是地面坐标系下的速度，通过计算可以得出ω的值，

（1.6）

由牛顿第二定律可以得出无人机作平移运动时的运动模型