函数的连续性(109).pptxVIP

一、闭区间上连续函数的性质定理5（最值定理）如果函数在闭区间上连续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值.例如，在图1—9中，在上连续，在点处取得最小值，在点处取得最大值.

应注意的问题:推论：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.如果函数仅在开区间内连续?或函数在闭区间上有间断点?那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值?例如?函数f(x)=x在开区间(a?b)内既无最大值又无最小值?

定理6设函数f(x)在闭区间[a?b]上连续?m和M分别是f(x)的最小值和最大值?则对于m和之间任意一个数C?在开区间(a?b)内至少有一点x?使得f(x)=C.abOxyy=f(x)mMx1xx2y=CmCMC

推论(根的存在定理)设函数f(x)在闭区间[a?b]上连续?且f(a)与f(b)异号?那么在开区间(a?b)内至少一点x?使f(x)=0?abOxyx1x2xx3y=f(x)f(a)f(b)

证因为函数是初等函数，例1由零点定理知，至少存在一点使所以，在闭区间[0,1]上连续.且f(0)=10，f(1)=－20,

二、函数间断点及其分类定义设函数y=f(x)在x0的一个邻域有定义(在x0可以没有定义)，则称x0是函数y=f(x)的间断点.也称函数在该点间断.如果函数f(x)在点x0处不连续，由函数在某点连续的定义可知，如果在点处有下列三种情形之一，则点为的一个间断点.（1）在点没有定义，即不存在；（2）不存在；（3）虽然存在，但

函数在点处无定义，所以在点处间断，是函数的间断点.见图1—6

函数在有定义，但，，所以不存在，因此在处不连续.见图1－7

函数在时有定义，但显然，所以在不连续.在以上几个例子中,函数在指定点均不连续，但情况却各有不同.

1.跳跃间断点例1解

2.可去间断点例2解

如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.

3.第二类间断点例3解

例4解

例5、研究下列函数在x=0的连续性，若是间断的，指出间断点类型。解：1)（a为任意实数）

例5、研究下列函数在x=0的连续性，若是间断的，指出间断点类型。解：2)

例5、研究下列函数在x=0的连续性，若是间断的，指出间断点类型。（a为任意实数）解：3)∴当a=0时f(x)在x=0处连续。a≠0时x=0为f(x)的可去间断点。