【新教材精创】用空间向量研究距离、夹角问题（2）课件-人教A版高中数学选择性必修第一册.pptxVIP

人教2019A版选择性必修第一册;学习目标;地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是星座的由来.;

1.利用向量方法求两异面直线所成角

若两异面直线l1,l2所成角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则有

cosθ=|cosa,b|=.

特别提醒：不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.;1.若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值

等于();2.利用向量方法求直线与平面所成角

若直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,

则有sinθ=|cosa,n|=.;2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于()

A.120° B.60° C.150° D.30°;3.利用向量方法求二面角

(1)若二面角α-l-β的平面角的大小为θ,其两个面α,β的法向量分别为n1,n2,则|cosθ|=|cosn1,n2|=;

(2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α,β内,各取一条与棱l垂直的直线,则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小.;A.120° B.150°C.30°或150° D.60°或120°;例1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.;解:分别以直线BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如右图).;1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.

(1)建立适当的空间直角坐标系.

(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.

(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.

(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.

2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.

(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.

(2)范围:异面直线所成角的范围是,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.;跟踪训练1如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的

余弦值为.?

;例2.如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,

M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.

(1)证明MN∥平面PAB;

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.;?;若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下:;跟踪训练2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE

所成的角为();例3.如图,在正方体ABEF-DCEF中,M,N分别为AC,BF的中点,

求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值.;解:设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,则;利用平面的法向量求二面角

利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角