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一道课本例题的演变与联想

数学课本中有不少例题，习题具有典型性、示范性、迁移性和再生性等特点，若以这些题为原型加以演变和联想，不仅可以得到一些“源于教材，高于教材”的好题，而且有助于培养学生的探究创新能力，将是实现减负增效的得力措施.下面推荐人教版几何第二册例题，谈谈课本例题的演变和联想.

1原题回放

例1如图1，是一块锐角三角形余料.边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

解设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上,顶点P、N分别在AB、AC上.的高AD与边PN相交于点K，设正方形的边长为x毫米.

∵PN∥BC,∴∽.

∴(相似三角形对应高之比等于相似比)

∴，解得x=48（毫米）

2原题演变

演变1内接正方形变为固定内接矩形

例2如图2，已知△ABC中，BC=120，BC上的高AD=80，四边形PQMN为△ABC的内接矩形，且PQ：QM=5：9，求S矩形PQMN。

解设PQ=5x,QM=9x.则AK=80—5x,PN=QM=9x.

∵PN∥BC,∴∽.

∴，∴解得x=4.

∴S矩形PQMN=PQ×QM=20×36=720（平方单位）.

点评利用相似三角形的对应高之比等于相似比是解决例1和例2的关键.

演变2内接正方形变为动态内接矩形

例3如图2，已知△ABC中，BC=120，BC上的高AD=80，四边形PQMN为△ABC的内接矩形，求矩形PQMN的最大面积.

解设.同上可知：，即

∴

当x=40时，矩形PQMN有最大面积2400（平方单位）.

点评本题将相似三角形的性质和二次函数有机结合，形的最值问题转化成数的最值问题，体现了数学建模的思想.

演变3内接正方形变为动态正方形

例4（2008年湖北省孝感市）锐角中，，，两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为.

（1）中边上高；（2）当时，恰好落在边上（如图3）；（3）当在外部时（如图4），求关于的函数关系式（注明的取值范围），并求出为何值时最大，最大值是多少？

解（1）；（2）；

（3）设分别交于，则四边形为矩形．如图5.

设，交于，则，．

，∴．

∴，即，∴．

∴，配方得：．

∴当时，有最大值，最大值是6.

点评虽然正方形在运动，但其问题的本质仍然是相似三角形的性质与二次函数的有机结合，运动中也有“静止不变”的一面.

演变4动态正方形变为动态平行四边形

例5（2005年湖北省宜昌市）已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC＝45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．

（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；

（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．

解(1)如图6，∵点G与点E关于点F对称，∴GF=FE.

∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF，又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，∴GI=JE.

同理可得HG=EK，∴HI=JK,∴四边形HIKJ是平行四边形.

（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5.

∵AE过平行四边形HIJK的中心F,∴HG=EK,GI=JE.∴.

∵CE＞BE,∴GI＞HG,∴CK＞BJ.

∴当点F在AE上运动时,点K、J随之在BC上运动,当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上.

设EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5—2x,CE＝—5.如图7.

∵△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE，∴(5—2x)∶5＝5∶(—5)

∴x＝1，∴AF＝5—x＝4，∴＜AF≤4.

点评运动的正方形变成运动的平行四边形，线段AF的变化在无法用函数来描述的情况下，采取探究变化的极端情况来分析，正好两个极端位置所对应的线段长度是明显的最值.

演变5动态平行四边形变为动态等腰直角三角形

例6△ABC的高AD=3，BC=4，直线EF∥BC,交线段AB