专题07 等腰三角形压轴题（期末预测20题，难）（解析版）.docxVIP

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专题07等腰三角形压轴题

（期末预测20题，难）

1．在等腰△ABC中，CA=CB，点N在直线BC上，在直线AB上找一点M，使得CM=CN，连接CM、MN．

(1)如图1，当点N在BC边上，点M在AB边上，若∠ACB=60°，∠MCN=20°，求出∠BMN的度数；

(2)如图2，当点N在线段CB的延长线上，点M在线段AB的延长线上时，请写出∠BMN与∠ACM的数量关系，并加以证明；

(3)若点N在直线BC上，点M在射线BA上，∠ACM=24°，请画出草图，并直接写出∠BMN的度数．

【答案】(1)20°

(2)∠BMN=1

(3)12°或78°或102°，图见解析

【分析】（1）先求出∠A=60°，由已知可得∠ACM=40°，根据三角形外角的性质可得∠BMC=100°，然后根据CM=CN，∠MCN=20°可求出∠CMN=80°，进而可求出∠BMN的度数；

（2）设∠MCN=α，∠ACB=β，则∠ACM=α+β，由CA=CB得∠A=∠ABC=∠MBN=12180°-β，再由CM=CN得∠CNM=

（3）分四种情况进行讨论：①当点N在CB的延长线上时，设∠BMN=α，∠CMB=β，则∠CMN=α+β，∠CAB=β+24°，由CA=CB得∠CBA=∠CAB=β+24°，由CM=CN，得∠CNM=∠CMN=α+β，然后根据∠CBA=∠BMN+∠CNM可求出α的度数；②当点N在BC的延长线上时，设∠AMC=α，∠CMN=β，则∠BMN=α+β，∠CAB=α+24°，由CA=CB，得∠B=∠CAB=α+24°，由CM=CN，得∠CNM=∠CMN=β，进而可得∠BCM=2β，∠ACB=2β-24°，然后∠ACB+∠B+∠CAB=180°可求出α+β的度数；③当点N在BC上时，设∠ACB=α，∠MCN=β，则∠ACM=∠ACB-∠MCN=α-β=24°，根据三角形内角和定理求得∠CNM和∠CBA，进而根据∠BMN=∠CNM-∠CBA即可求解；④当点N在BC的延长线上，点M在BA上时，设∠B=α，求出∠BCM=156°-2α可得∠CMN=∠CNM=78°-α，然后在△BMN中，利用三角形内角和定理求解即可．

【详解】（1）解：∵CA=CB，∠ACB=60°，

∴△ACB为等边三角形，

∴∠A=60°，

∵∠MCN=20°，

∴∠ACM=∠ACB-∠MCN=60°-20°=40°，

∴∠BMC=∠ACM+∠A=40°+60°=100°，

∵CM=CN，∠MCN=20°，

∴∠CMN=1

∴∠BMN=∠BMC-∠CMN=100°-80°=20°．

（2）解：∠BMN与∠ACM的数量关系是：∠BMN=1

证明如下：

设∠MCN=α，∠ACB=β，则∠ACM=∠MCN+∠ACB=α+β，

∵CA=CB，

∴∠A=∠ABC=1

∴∠MBN=∠ABC=1

∵CM=CN，

∴∠CNM=1

∴∠BMN=180°-∠MBN-∠CNM，

即：∠BMN=180°-1

（3）解：∠BMN的度数为12°或78°或102°．

理由如下：

①当点N在CB的延长线上时，

设∠BMN=α，∠CMB=β，则∠CMN=∠BMN+∠CMB=α+β，

∵∠ACM=24°，

∴∠CAB=∠CMB+∠ACM=β+24°，

∵CA=CB，

∴∠CBA=∠CAB=β+24°，

∵CM=CN，

∴∠CNM=∠CMN=α+β，

∵∠CBA=∠BMN+∠CNM，

∴β+24°=α+α+β，

∴α=12°，

即∠BMN=α=12°；

②当点N在BC的延长线上，点M在BA延长线上时，

设∠AMC=α，∠CMN=β，则∠BMN=∠AMC+∠CMN=α+β，

∵∠ACM=24°，

∴∠CAB=∠AMC+∠ACM=α+24°，

∵CA=CB，

∴∠B=∠CAB=α+24°，

∵CM=CN，

∴∠CNM=∠CMN=β，

∴∠BCM=∠CNM+∠CMN=2β，

∴∠ACB=∠BCM-∠ACM=2β-24°，

∵∠ACB+∠B+∠CAB=180°，

∴2β-24°+α+24°+α+24°=180°，

∴α+β=78°，

即：∠BMN=α+β=78°；

③当点N在BC上时，

设∠ACB=α，∠MCN=β，则∠ACM=∠ACB-∠MCN=α-β=24°，

∵CA=CB，

∴∠CBA=∠CAB=1

∵CM=CN，

∴∠CNM=∠CMN=1

∴∠BMN=∠CNM-∠CBA=1

④当点N在BC的延长线上，点M在BA上时，

设∠B=α，

∵CA=CB，