函数的升降凸性与极值.pptxVIP

函数的单调性01o02o03a04b05a06b07从导数的几何意义考察函数的单调性：083.函数的升降、凸性与极值

Th.1（导数的正负与函数升降的关系）证明：由极限保号性、中值定理可证.Corollary（严格单调的充分条件）若f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且不变号，则

注1.Th.1表明，讨论可导函数的单调性，只须判别1其导数的符号即可，其步骤是:2确定的定义域；3求，令求出分界点；4用分界点将定义域分成若干个开区间；5判别在每个开区间内的符号，即可6确定的严格单调性（严格单调区间）.7

例1.讨论的上升、下降情况.解：该函数的定义域是R.由它们将R分成三个区间：xy+－+y

例2.解：定义域是R.由现列表讨论如下：xy+－++y

Th.2（不等式定理）若f(x)与g(x)满足条件：(1)在[a,b]上可导;注2.利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式．yxMoaxb

Th.2若F(x)满足证明：

01例3.证明03从而得证.02证明：

例4.证明：

例5.证明方程证明：

二、函数的极大值与极小值Def（局部极值）

oabxy注3.函数的极值的局部性.定义中可以有

结论oxyy=2xy=x

Th.3（极值的必要条件）由此求出可能使f(x)取极值的点之后，如何判定它是取极大值还是极小值呢？图示可见,由导数符号可判定极大极小值点.xyoyxo

Th.4（极值判别法之一）030201

x－＋取局部极小值＋－取局部极大值＋＋不取局部极值－－不取局部极值证明：由函数的升降性及极值定义得到.列表如下：

注4.

Th.5（极值判别法之二）01证明：由二阶导数定义及极限保号性、Th4得证.02

Th.50102定理5是定理5的特殊情形.03

证明：根据Taylor公式,有

例6.解：现列表讨论如下：

x0y+不存在－0+y

例7.解：

例8.解：

yabxO函数的最大值和最小值如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？

注1：函数在某一区间上的最大值和最小值,也叫全局极值.可导函数在[a,b]上的最大、最小值的求解步骤：注2：

例9.解：所以函数的最大值是0,最小值是－2.例10.某生产队要建造一个体积为50立方米的有盖圆柱形氨水池.问这个氨水池的高和底半径取多大时，用料最省？解：用料最省就是要求氨水池的表面积最小.设氨水池的底半径是r,高是h,它的表面积hrO

答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省。用V＝50立方米代入，得到

四、函数的凸性是描述函数性状的一个更深入的概念.例如：yxo

上凸下凸几何角度：xyoxyo

1.Def（函数的凸性）

注：函数的凹凸性，下凸即是上凹.

01函数的凸性与其导数的关系02Th.6030405证明：06由Lagrange公式，得：07Infact,

其中，由⑴得上凸，故下凸.

y=f(x)04o05Def:若曲线在其上一点的一侧为上凸，另一侧为下凸，则称此点为曲线的拐点.01y03x02

注：yxoQ1Q2Q3Q4

⑴求；⑵令，求解，并划分f(x)的定义域为若干个开区间.⑶判别在每个开区间的符号.设,列表讨论如下：3.讨论f(x)的凸性及拐点的步骤x－（上凸）0＋（下凸）是拐点＋（下凸）0－（上凸）是拐点＋（下凸）0＋（下凸）不是－（上凸）0－（上凸）拐点注：对不存在的点亦可类似讨论.

例1.讨论的凸性及拐点.解：xyo·1x0－0＋不存在＋y上凸拐点下凸非拐点下凸

例2.解：其定义域是R.由xyo11-1-1x1－0＋0－y极小值－1极大值1

又列表如下：x0－0＋0－0＋上凸拐点下凸拐点上凸拐点下凸

统一列表如下:x01－－－0＋＋＋0－－－－0＋＋＋0－－－0＋上凸拐点下凸极小下凸拐点上凸极大上凸拐点下凸

01曲线的渐近线02x03y04o050607双曲线08的渐近线09如