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Erlang(2)风险模型关键问题的深度剖析与拓展研究

一、绪论

1.1研究背景与意义

保险，作为一种以多数单位和个人缴纳保费建立保险基金，使少数成员的损失由全体被保险人分担的损失分摊方法，自诞生之初便与风险紧密相连，是商品社会中处理风险的一种有效方式。现实生活里，各式各样的风险和不确定事件是保险业存在与发展的根基。保险公司作为经营风险的主体，在保障投保人利益的基础上，如何确定自身资产与负债的合理配比，维持经营稳定性，是其最为关注的问题。除遵循一般经营原则外，保险企业还运用以数学，尤其是概率统计原理和方法为基础的独特经营原则，比如利用大数法则对投保风险进行定量统计与预测，依据特定原则计算保费，并对索赔和盈余展开定量分析等。

随着时代的发展，数理统计在理论上不断完善，应用中也日益成熟。与此同时，保险业面临的行业竞争愈发激烈，新险种不断涌现，费率计算变得更为复杂。在此背景下，一门融合数学、统计学、保险学和金融学等多学科的崭新交叉学科——精算学应运而生。精算学在西方已有三百多年历史，它运用概率论等数学理论和多种金融工具，研究处理保险业及其他金融业中各种风险问题的定量方法和技术，是现代保险业、金融投资业和社会保障事业发展的理论基础。其起源于人寿保险的费率计算，如今已不仅局限于寿险领域，在非寿险以及投资、银行系统等金融部门都有广泛应用，对未来保险业的健康稳定发展起着举足轻重的作用。

风险理论作为决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论，可应用于诸多涉及风险分析和决策的领域，如投资分析、资产管理、经营风险分析等。在保险领域，为全面准确地分析和评估保险公司在一定时期内的资产盈余状况及经营稳定性，通常会依据保险公司在该时期内收取的保费与理赔的频度和额度之间的关系，构建相应的风险模型，并通过该模型获取破产概率、破产时间、破产前盈余及破产时发生的赤字等关键指标，以此衡量保险公司的偿付能力和财务稳定性。

在国外，风险理论的研究已有上百年历史，发展极为迅速，涌现出了各种各样的模型。众多学者运用概率方法和随机过程理论取得了许多经典成果。在大量风险理论相关文章中，经典的风险模型较为常见，即索赔发生次数为Poisson过程。由于Erlang分布（特殊的伽玛分布）是排队论中描述到达过程最主要的分布，因此在风险模型中用Erlang分布描述索赔过程既合理又必要。Erlang风险模型最早由Dickson提出，他研究了索赔间隔为Erlang(2)分布的风险模型的破产概率，此后相关研究不断涌现，从Erlang(2)推广到了Erlang(n)，使得关于Erlang风险模型的研究日益完善。

在经典风险理论研究中，复合Poisson模型是主要研究对象，通常侧重于确定破产概率数值、破产发生时间等，也取得了不少经典成果。然而在实际生活中，“破产”发生的概率极小，相比之下，人们更关注保险公司的盈余何时能达到给定水平a。像Gerber、XiaowenZhou、HuYangZhiminZhang、Nan,W,Konstadinos,P等学者都对此问题进行过研究，不过这些研究大多是在盈余过程累计索赔额符合复合Poisson分布，即索赔间隔服从指数分布的条件下完成的。而本文主要探讨的是在索赔时间间隔服从Erlang(2)分布且增加一些限定条件的情况下，运用类似方法研究盈余达到给定水平的时间性质。研究Erlang(2)风险模型，能够为保险公司更精准地评估自身面临的风险提供有力支持。通过深入分析该模型下的各种风险指标，如破产概率、盈余达到给定水平的时间等，保险公司可以清晰地了解自身在不同情况下的风险状况，从而提前制定合理的风险应对策略，有效降低风险发生的可能性和影响程度，保障公司的稳定运营。同时，对于保险产品的精确定价也具有重要意义。准确的风险评估结果能够使保险公司在定价时充分考虑各种风险因素，制定出既符合市场需求又能保证公司盈利的保险费率，提高产品的竞争力，促进保险市场的健康发展。

1.2Erlang(2)风险模型概述

Erlang(2)风险模型作为风险理论中的重要模型，在保险精算等领域有着关键应用。该模型主要聚焦于保险公司的盈余过程，其中索赔间隔服从Erlang(2)分布。在实际的保险运营中，索赔的发生并非毫无规律，Erlang(2)分布能够较为精准地刻画索赔间隔时间的变化规律。

从定义来看，假设保险公司的初始盈余为u，在时刻t的盈余记为U(t)，那么U(t)可表示为U(t)=u+ct-S(t)，这里c代表单位时间内收取的保费，S(t)表示到时刻t为止的累计索赔额。而索赔间隔T_n（n=1,2,\cdots）服从Erlang(2)分布，其概率密度