函数微分学的应用.pptxVIP

第三章一元函数微分学的应用

本章重点:微分中值定理;洛必塔法则;函数的极值、最值及其求法本章难点:微分中值定理;函数的最值及其应用;函数的凹凸区间及拐点求法

第一节中值定理本节内容提要:罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理

01本节重点02罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论、几何意义及应用03本节难点04罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用05教学方法06启发式07教学手段08多媒体课件和面授讲解相结合09教学课时102课时

一、罗尔定理定理：如果函数f（x）满足：（1）在闭区间[a,b]上连续（2）在开区间（a,b）内可导。 （3）f(a)=f(b)。则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得几何意义：在每点都有切线的一段曲线上，若两端点的高度相同，则在该曲线上存在一条水平切线.注:（1）ξ点不一定唯一。（2）定理的条件是充分的，但非必要的

例1：不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。解：f(x)是一个边续可导函数，且f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0f(x)在[1，2]，[2，3]，[3，4]上都满足罗尔定理的条件。存在（1，2），（2，3），（3，4），使即至少有三个实根（I=1,2,3）又是三次方程，它至多有三个不同的实根，综上所述有三个实根，分别位于区间（1，2）（2，3）（3，4）内返回

二、拉格朗日中值定理定理如果f(x)满足:（1）在闭区间[a,b]上连续。（2）在开区间（a,b）内可导。则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得注：若拉格朗日中值定理满足f(a)=f(b),即为罗尔定理几何意义：在每点都有切线的一段曲线上至少存在一点P（ξ，f(ξ)）使曲线在该点的切线平行于两端点的连线。

推论1设函数f(x)在（a,b）内可导，且则f(x)在区间（a,b）内是一个常数

推论2设函数f(x)和g(x)在（a,b）内可导，且则f(x)和g(x)相差一个常数c,即例3：证明（1）在[-1,1]上恒有对任何实数恒有返回

三﹑柯西中值定理定理如果函数f(x)与F(x)满足：在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导在(a,b）内的每一点处均不为零。则在（a,b）内至少存在一点,使得注：三个中值定理的关系：柯西中值定理拉格朗日定理罗尔定理。返回