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2025年高考乙卷数学试题含解析及答案

一、选择题

1.设集合A={x|2≤x≤5}，B={x|x≤3或x≥6}，则A∩B等于（）

A.{x|2≤x≤3}

B.{x|2≤x≤5}

C.{x|2≤x≤6}

D.{x|5≤x≤6}

解析：集合A表示2到5之间的实数，集合B表示小于等于3或大于等于6的实数。两集合的交集表示同时满足A和B的元素，即2到3之间的实数。故选A。

答案：A

2.若函数f(x)=2x^33x^2+4在x=2处的切线斜率为k，则k等于（）

A.8

B.9

C.10

D.12

解析：求导函数f(x)=6x^26x，将x=2代入得f(2)=62^262=12。故选C。

答案：C

3.已知函数f(x)=x^33x^2+x+1，则方程f(x)=0在区间（1，2）内的实根个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

解析：求导函数f(x)=3x^26x+1，f(x)的判别式Δ=b^24ac=36431=240，故f(x)有两个实根，f(x)在区间（1，2）内有两个极值点。由于f(1)=0，f(2)=1，根据零点存在定理，方程f(x)=0在区间（1，2）内有一个实根。故选B。

答案：B

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=15，S10=30，则公差d等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：由等差数列前n项和的公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，得S5=5/2(2a1+4d)=15，S10=10/2(2a1+9d)=30。解方程组得d=1。故选A。

答案：A

5.一个球体的体积为V，表面积为S，若球的半径增加a，则体积增加的量为（）

A.4πa^2

B.8πa^2

C.12πa^2

D.16πa^2

解析：设球体半径为r，则V=4/3πr^3，S=4πr^2。半径增加a后，新半径为r+a，新体积为V=4/3π(r+a)^3。体积增加的量为VV=4/3π(r+a)^34/3πr^3=4πa^2。故选B。

答案：B

二、填空题

1.若函数f(x)=x^2+2x+1在区间（∞，a）上单调递减，则实数a的取值范围是______。

答案：a≤1

2.已知等比数列{an}的首项为3，公比为2，求该数列的前8项和。

答案：189

3.若三角形ABC的面积为12，且a=4，b=6，sinA=1/2，求sinB的值。

答案：√3/4

4.已知椭圆x^2/4+y^2/3=1的离心率为e，求e的值。

答案：√2/2

5.若函数f(x)=x^33x+1在x=1处的切线方程为y=kx+b，求k和b的值。

答案：k=3，b=1

三、解答题

1.已知函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调递增区间。

解：求导函数f(x)=3x^26x，令f(x)0，得x0或x2。故f(x)的单调递增区间为（∞，0）和（2，+∞）。

2.已知三角形ABC的顶点A(1，2)，B(4，2)，C(5，4)，求三角形ABC的面积。

解：由两点间距离公式得AB=√(3^2+4^2)=5，AC=√(4^2+2^2)=2√5，BC=√(1^2+6^2)=√37。利用海伦公式S=√p(pa)(pb)(pc)，其中p=(a+b+c)/2，得S=√(9√5)(9√55)(9√52√5)(9√5√37)=7√37。

3.已知函数f(x)=x^36x+9，求f(x)的极值点及极值。

解：求导函数f(x)=3x^26，令f(x)=0，得x=±1。f(1)=4，f(1)=14。故f(x)在x=1处取得极大值4，在x=1处取得极小值14。

4.已知椭圆x^2/4+y^2/3=1的右焦点为F，直线l过点F且斜率为2，求直线l与椭圆的交点坐标。

解：右焦点F的坐标为(1，0)。直线l的方程为y=2(x1)。将直线方程代入椭圆方程，得x^2+8(x1)^2=12。解得x=2/3，y=4/3。故交点坐标为(2/3，4/3)。

5.已知函数f(x)=x^33x^2+x+1，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值。

解：求导函数f(x)=3x^26x+1。f(x)的判别式Δ=b^24ac=36431=240，故f(x)有两个实根。f(0)=1，f(2)=1。f(x)在区间[0，2]上的最大值为f(0)=1，最小值为f(2)=1。