第二节二重积分的计算.pptVIP

小结：用直角坐标计算二重积分[x－型][y－型]确定积分次序时要注意:1、考虑积分区域的特点，分块越少越好.2、考虑被积函数的特点，使第一次积分容易积出，并能为第二次积分的计算创造有利条件.第31页，共81页，星期日，2025年，2月5日利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分第32页，共81页，星期日，2025年，2月5日第33页，共81页，星期日，2025年，2月5日第34页，共81页，星期日，2025年，2月5日第35页，共81页，星期日，2025年，2月5日A第36页，共81页，星期日，2025年，2月5日第37页，共81页，星期日，2025年，2月5日二、利用极坐标系计算二重积分第38页，共81页，星期日，2025年，2月5日一、重积分的换元积分法定理1：设f（x，y）在有界闭区域D连续，在D上具有一阶连续偏导数的函数把D映射为uv平面的区域D`，其逆变换记成又设行列式则第39页，共81页，星期日，2025年，2月5日例1f(x，y)在闭区域Dxy连续，则极坐标变换它把变成，行列式故第40页，共81页，星期日，2025年，2月5日三、利用极坐标系计算二重积分第41页，共81页，星期日，2025年，2月5日二重积分化为二次积分的公式（１）1、极点O在D的外部区域特征如图第42页，共81页，星期日，2025年，2月5日区域特征如图第43页，共81页，星期日，2025年，2月5日二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图2、极点O在D的边界上第44页，共81页，星期日，2025年，2月5日极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图3、极点O在D的内部第45页，共81页，星期日，2025年，2月5日思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试问?的变化范围是什么?(1)(2)第46页，共81页，星期日，2025年，2月5日第47页，共81页，星期日，2025年，2月5日第48页，共81页，星期日，2025年，2月5日法二:积分区域关于x轴对称,第49页，共81页，星期日，2025年，2月5日解第50页，共81页，星期日，2025年，2月5日解第51页，共81页，星期日，2025年，2月5日解第52页，共81页，星期日，2025年，2月5日解第53页，共81页，星期日，2025年，2月5日解由于的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.第54页，共81页，星期日，2025年，2月5日解利用例7可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式第55页，共81页，星期日，2025年，2月5日同理第56页，共81页，星期日，2025年，2月5日第57页，共81页，星期日，2025年，2月5日第1页，共81页，星期日，2025年，2月5日一、问题的提出１．曲顶柱体的体积曲顶柱体：第2页，共81页，星期日，2025年，2月5日柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积第3页，共81页，星期日，2025年，2月5日演示文稿1.ppt播放求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第4页，共81页，星期日，2025年，2月5日步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积第5页，共81页，星期日，2025年，2月5日2。直角坐标系下的积分微元我们利用直角坐标网分割D让分割充分细，取D的被坐标网割出的一个典型子区域Δσ，设它是如图的矩形，其面积为第6页，共81页，星期日，2025年，2月5日先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值.第7页，共81页，星期日，2025年，2月5日如果积分区域D可表示为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分

1、x－型区域则D称为x－型区域.x－型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.第8页，共81页，星期日，2025年，2月5日设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的曲顶柱体体积的计算第9页，共81页，星期日，2025年，