函数的连续性(134).pptxVIP

2.5.1函数连续性的定义2.5.2初等函数的连续性2.5函数的连续性2.5.3函数的间断点

解1、从图象上看，在处“连续”。引例求下列函数在处的函数值和极限，并作出图像。图象：yx01122(1,2)

y12021x2、(1,2)从图象上看,在处“间断”。图象：

定义1.15设变量从它的初值变到终值，则终值与初值之差就叫做变量的增量，又叫做的改变量，记作，即．2.5.1函数连续性的定义增量可以是正的，可以是负的，也可以

是零．如果函数在的某个领域内有定义,当自变量在点处有一改变量时，函数的相应改变量则为

△x例1已知正方形的边长为(1)当边长产生了一个的改变量时，面积改变了多少？(2)当边长由2m变到2.05m时，面积改变了多少？(3)当边长由2m变到1.95m时，面积改变了多少？

解当边长变为时，函数值即当边长由2m变到2.05m时,面积增加了0.2025(m2)

即当边长由2m变到1.95m时,面积减少了0.1975(m2)

例2设，求适合下列条件的函数的改变量(增量).（2）（3）解（1）（1）由1变到1.2（2）由1变到0.8（3）由1变到

练习一解的初值为1，终值为1.5求函数，当，时的改变量.

函数随的改变而逐渐改变曲线断开曲线不断有突变现象

定义1.16设函数在点的某个领域内有定义，如果当自变量的改变量趋于零时，相应函数的改变量也趋于零，即，(1.6.1)则称函数f(x)在点x连续．0

例1用定义证明在给定点处连续．证，所以在给定点处连续．，

，(1.6.2)定义1.17设函数在点的某个领域内有定义,如果当时,函数的极限存在，且等于在点处的函数值，即则称函数f(x)在点x连续．0

（3）（1）函数在点处及其近旁有定义;定义指出了函数在点处连续必须满足条件：（2）函数存在；

例2、证明函数在点处连续证明一设自变量在处的改变量是， 则相应的改变量故函数在点处连续

所以函数在点处连续证明二因函数在处有定义，且

例3讨论函数在处的连续性，并作出函数的图象。解根据定义的三个步骤进行验证：（1）的定义域是，故在及其附近有定义，;（2）

所以因此在处续。x04123-1-2123y符合定义的三个步骤。（3）

在处连续。例4适当选取的值，使函数解（1）的定义域是，在及其附近有定义，且。

欲使在处连续，须有所以时，在处连续。即，此时

练习二用定义讨论函数在处的连续性并作图。解：由定义的三个步骤进行验证：（1）（2）所以，（3）函数在处连续。1-1xy0

解．这个等式的成立表明在函数连续的前提下，极限符号与函数符号可以互相交换．当函数在点处连续时，有例5求．

，若函数当时极限存在

且等于，即而函数在点连续，则复合函数当时的极限也存在，且．(1.6.4)

例6求．解因为，且在点连续，则

logo若函数在区间内连续，且，，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续.定义1.18如果函数在区间内任何一点都连续，则称f(x)在区间(a,b)内连续．

初等函数的连续性定理1.4若函数与在点处连续则这两个函数的和、差