圆锥曲线的方程（八）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）.docxVIP

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时八

知识点一根据a、b、c求椭圆标准方程,椭圆中的定值问题

典例1、如图，已知椭圆分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆

C过点，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线上有两个点，且，连接交椭圆C于另一点P（不同于点），证明：三点共线．

随堂练习：已知椭圆：（）过点，且焦距与长轴之比为.设，为椭圆的左?右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线：相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：直线与的斜率之积为定值；

（3）判断三点，，是否共线，并证明你的结论.

典例2、已知椭圆，由E的上?下顶点，左?右焦点构成一个边长为的正方形.

（1）求E的方程；（2）过E的右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程.

随堂练习：已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．

（1）求椭圆的离心率与抛物线的方程；（2）过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程；（3）点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程．

典例3、椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．

（1）求椭圆的离心率；

（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．

随堂练习：已知椭圆的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程．

知识点二根据a、b、c求椭圆标准方程,根据韦达定理求参数,根据弦长求参数

典例4、已知椭圆与的离心率相同，过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆、的交点从上到下依次为、、、，且，求的值．

随堂练习：已知①如图，长为，宽为的矩形，以?为焦点的椭圆恰好过

两点②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆

（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；

（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若直线被椭圆截得的弦长等于短轴长，求的值.

典例5、已知椭圆，过点．

（1）求C的方程；

（2）若不过点的直线l与C交于M，N两点，且满足，试探究：l是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

随堂练习：已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为，

且.

（1）求椭圆的方程；

（2）点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线过定点.

典例6、已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值．

随堂练习：已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，点是椭圆的右焦点，且点

在椭圆上，直线与椭圆交于A，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）当时，求的面积；

（3）对，的周长是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时八答案

典例1、答案：（1）（2）证明见解析

解：（1）由题意可知：，

，椭圆C的方程为；

（2）证明：设，

由于，因此，，

直线的斜率为，直线的方程为，

代入椭圆方程得：，

整理得：，

设，

代入直线的方程得，

直线的斜率为，

直线的斜率为，，

所以三点共线．

随堂练习：答案：（1）；（2）定值为，证明见解析；

（3），，三点共线，证明见解析.

解:（1）由题知：，所以椭圆：.

（2）由题知：，存在，且不为零，设，，，

则，即..

所以直线与的斜率之积为定值.

（3），，三点共线，证明如下：

设直线：，则直线：，

将代入直线，得：，，

，设直线：，

，

设，则，解得，

所以，即，

所以，，

所以，为公共点，所以，，三点共线.

典例2、答案：（1）（2）与的方程分别为：，

解：（1）由已知，，，所以E的方程为.

（2）又题意中，，

①若或斜率不存在，易知，不符合题意；

②若斜率存在，设，和的方程联立得：

，，，

，

设，同理可得，

所以

解得，，所以与的方程分别为：，，

随堂练习：答案：（1）离心率为；抛物线的方程为

（2）（3）

解：（1）因，，故，从而椭圆的离心率为．

且椭圆的右焦点坐标为．

于是由椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，得，即．

从而抛物线的方程为