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2025年高考北京卷数学练习题含解析及答案

2025年高考北京卷数学练习题及解析

一、选择题（每题5分，共40分）

1.设集合A={x|x25x+60}，B={x|x30}，则A∩B的取值范围是（）

A.(2,3)

B.(2,3)

C.(3,∞)

D.(∞,3)

解析：集合A的解为2x3，集合B的解为x3。所以A∩B的解为(2,3)。

答案：B

2.若函数f(x)=x2+bx+c的图像开口向上，且有两个不同的实数根，则b的取值范围是（）

A.b0

B.b0

C.b≥0

D.b≤0

解析：因为开口向上，所以a0。由于有两个不同的实数根，所以判别式b24ac0。因为a=1，c为常数，所以b20，即b可以是任意实数。

答案：D

3.已知函数g(x)=log?(x1)，则g(3)的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：将x=3代入函数中，得到g(3)=log?(31)=log?(2)=1。

答案：A

4.若函数h(x)=kx2+mx+n（k≠0）的图像关于x=2对称，则以下选项正确的是（）

A.k=0

B.m=0

C.n=0

D.k+m=0

解析：图像关于x=2对称，说明对称轴为x=2，即$$\frac{b}{2a}$$=2，所以m=4k。因此，选项D正确。

答案：D

5.若直线y=2x+1与圆x2+y2=4相切，则切点的坐标为（）

A.(1,1)

B.(1,3)

C.(3,1)

D.(3,1)

解析：将直线方程代入圆的方程，得到x2+(2x+1)2=4，化简得到5x2+4x3=0。解得x=1或x=0.6。将x值分别代入直线方程，得到切点坐标为(1,1)和(0.6,2.2)。但(0.6,2.2)不在圆上，所以切点坐标为(1,1)。

答案：A

6.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，S6=27，则该数列的通项公式为（）

A.an=3n2

B.an=3n3

C.an=2n1

D.an=2n+1

解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)。由S3=12得到3/2(a1+a3)=12，由S6=27得到6/2(a1+a6)=27。解得a1=3，d=2。所以通项公式为an=3+2(n1)=2n+1。

答案：D

7.已知函数f(x)=x33x+1，若f(x)=0的实根个数为2，则实数k的取值范围是（）

A.k0

B.k0

C.k≥0

D.k≤0

解析：f(x)=x33x+1的导数为f(x)=3x23。令f(x)=0，解得x=±1。f(1)=1331+1=1，f(1)=(1)33(1)+1=3。因为f(x)=0的实根个数为2，所以f(x)在x=1和x=1之间各有一个根。因此，k=f(0)=0330+1=1，所以k0。

答案：A

8.若空间直角坐标系中，点A(2,3,1)，点B(a,b,c)，且向量AB与向量i+j+k共线，则a+b+c的值为（）

A.6

B.7

C.8

D.9

解析：向量AB=(a2,b3,c1)，向量i+j+k=(1,1,1)。因为向量AB与向量i+j+k共线，所以存在实数k使得(a2,b3,c1)=k(1,1,1)。解得a=2+k，b=3+k，c=1+k。所以a+b+c=2+3+1+3k=6+3k。因为a,b,c为实数，所以k=0，所以a+b+c=6。

答案：A

二、填空题（每题5分，共30分）

9.若函数y=f(x)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为______。

答案：f(x)

10.若等比数列{an}的首项为2，公比为3，则该数列的第5项为______。

答案：162

11.若直线y=mx+1与圆x2+y2=9相切，则m的取值范围是______。

答案：[√8,√8]

12.若函数y=f(x)在区间(0,2)内单调递增，且f(1)=2，f(3)=8，则f(2)的取值范围是______。

答案：(2,8)

13.若空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，则向量AB的模长为______。

答案：√14

三、解答题（每题20分，共60分）

14.已知函数f(x)=x22x+a，若f(x)在区间(0,2)内有两个不同的实数根，求实数a的取值范围。

解析：由题意知，f(x)在区间(0,2)内有两个不同的实数根，即f(x)=0在(0,2)内有两个不同的实数根。设这两个根为x1和x2，则根据韦达定理有x1+x2=2，x1x2=a。因为x1和x2在(0,2)内，所以0x12，0x22。根据均值不等式有x1+x2≥