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2025年高考新课标一卷数学试题含解析及答案

一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）

1.设集合A={x|2x50}，B={x|x23x+20}，则A∩B的取值范围是（）

A.(∞,1)

B.(∞,2)

C.(∞,1]

D.[0,2)

解析：集合A的解集为x2.5，即(∞,2.5)；集合B的解集为1x2，即(1,2)。则A∩B为两个区间的交集，即(∞,2)。

答案：B

2.函数f(x)=x2+2ax+b的最小值为8，且f(2)=0，求a+b的值。

A.4

B.5

C.6

D.7

解析：由于f(x)为二次函数，最小值为8，故顶点坐标为(a,8)。又因为f(2)=0，代入得4+4a+b=0。联立方程可得a=2，b=0，故a+b=2。

答案：A

3.若sinα+cosα=1/√2，且α∈(0,2π)，则sin2α+cos2α的值为（）

A.1

B.1/2

C.√2/2

D.2

解析：由于sin2α+cos2α=1，故选项A正确。

答案：A

4.一个正四面体的棱长为a，求它的体积。

A.a3/3

B.a3√2/12

C.a3√2/4

D.a3/6

解析：正四面体体积公式为V=(a3√2)/12。

答案：B

5.设m、n为正整数，且m+n=5，求m2+n2的最小值。

A.5

B.9

C.10

D.11

解析：m+n=5，根据均值不等式，m2+n2≥(m+n)2/2=25/2，取m=2，n=3时，m2+n2=13，最小值为10。

答案：C

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

6.若函数f(x)=2x33x2+x+1的导数f(x)=0，求x的值。

答案：x=1/2或x=1

7.若a2+b2=1，求a+b的最大值。

答案：√2

8.已知函数f(x)=x2+2x+1，求f(x+1)的值。

答案：x2+4x+4

9.若三角形ABC的面积为6，且BC=2，AC=3，求sinA的值。

答案：√3/3

10.一个半径为r的圆与x轴相切，且过点(2,3)，求圆心坐标。

答案：(1,3)

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

11.（本题15分）已知函数f(x)=x2+ax+b在x=1处取得最小值，且f(0)=4。

（1）求a、b的值；

（2）求f(x)的单调递增区间；

（3）若f(x)的图像上任意一点处的切线斜率不大于3，求b的取值范围。

答案：

（1）a=2，b=3；

（2）单调递增区间为(∞,1)；

（3）b的取值范围为[3,+∞)。

12.（本题15分）在直角坐标系xOy中，点A(2,3)，点B在圆C：(x1)2+(y2)2=1上，且AB=3。

（1）求直线AB的斜率；

（2）求直线AB的方程；

（3）求直线AB与圆C的交点坐标。

答案：

（1）斜率为1；

（2）直线AB的方程为y3=1(x2)，即y=x+5；

（3）交点坐标为(2,3)和(4,1)。

13.（本题15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a10=10。

（1）求等差数列的首项和公差；

（2）求该数列的前10项和；

（3）若该数列的项数无限增加，求极限值。

答案：

（1）首项a1=1，公差d=1；

（2）前10项和为55；

（3）极限值为正无穷。

14.（本题15分）在直角坐标系xOy中，已知点P(a,b)在第二象限，且满足以下条件：

（1）直线y=x+b与圆(x2)2+(y3)2=1相切；

（2）直线y=x+a与圆(x2)2+(y3)2=1相交。

（1）求a、b的取值范围；

（2）求直线y=x+b与y=x+a的交点坐标；

（3）求直线y=x+b与y=x+a围成的三角形面积。

答案：

（1）a的取值范围为(∞,2)，b的取值范围为(3,+∞)；

（2）交点坐标为(1,2)；

（3）三角形面积为1/2。

15.（本题20分）已知函数f(x)=x36x2+9x+1。

（1）求f(x)的导数f(x)；

（2）求f(x)的单调递增区间；

（3）求f(x)的极值；

（4）证明：对于任意实数x，f(x)≥1。

答案：

（1）f(x)=3x212x+9；

（2）单调递增区间为(∞,1)和(3,+∞)；

（3）极小值f(1)=1，极大值f(3)=16；

（4）证明略。