专题19 圆锥曲线高频考点深度剖析压轴解答题（练习）(有解析）.docxVIP

专题19圆锥曲线高频考点深度剖析压轴解答题

目录

TOC\o1-2\h\z\u01模拟基础练 2

题型一：轨迹方程 2

题型二：向量搭桥进行翻译 5

题型三：弦长、面积背景的条件翻译 7

题型四：斜率之和差商积问题 9

题型五：弦长、面积范围与最值问题 11

题型六：定值问题 15

题型七：中点弦与对称问题 17

题型八：定点问题 19

题型九：三点共线问题 23

题型十：四点共圆问题 25

题型十一：切线问题 28

题型十二：定比点差法 32

题型十三：齐次化 34

题型十四：极点极线问题 35

题型十五：同构问题 40

重难点突破：蝴蝶问题 43

02重难创新练 47

题型一：轨迹方程

1．已知椭圆，左?右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.

??

(1)求椭圆的方程及离心率；

(2)若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；

(3)如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程.

【解析】（1）是面积为的等边三角形，，

椭圆的方程为，离心率.

（2）由题意得双曲线中的，则，

所以双曲线方程为，

联立椭圆方程解得:，即，

.

（3）由题易知，则联立，

得，

，即，

设为，则，

直线，令，解得，则，

令，则，则，

.

则点的轨迹方程为.

2．已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长的菱形．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，是否存在两定点，使得点满足恒为定值？若存在，请求出定点的坐标若不存在，请说明理由．

(3)对于第（2）问，如果推广到一般的椭圆．求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

【解析】（1）由题意，，

解得，椭圆E的标准方程.

（2）设，联立，消y得，

由，得：①，

所以，

直线的方程为：

令，得，令，得

的坐标满足②，③

又，

所以的轨迹方程为，

由椭圆定义，知存在定点，使得.

方法二：的坐标满足②，③

解得：，代入①得

所以，的轨迹方程为.

（3）设，联立，消y得：，

，得：，④

由④式得：

直线的方程为：

令，得，令，得

的坐标满足⑤，⑥

解得：，代入④得．

的轨迹方程为

所以，点的轨迹是以焦点，长轴长为的椭圆.

题型二：向量搭桥进行翻译

3．已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点.

(1)求E的方程；

(2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值.

【解析】（1）由题意，设E的方程为，又E过点，

所以，解得，

所以E的方程为.

（2）设，，由得，

因为，

所以，，

所以

，

所以，

解得或.

4．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.

(1)求C的方程；

(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，

焦点，，.

所以，，故C：.

（2）设l的方程为，则，故，

当直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，故.

与双曲线方程联立得：，

由已知得，，设，，

则，①

由，得：，，

消去得：，

即②

由①②得：，由已知；

当直线PQ的斜率不存在，此时，，，，，符合题意；

故存在定直线l：满足条件.

题型三：弦长、面积背景的条件翻译

5．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，上的点到两焦点的距离之和等于4.

(1)求椭圆的方程；

(2)过焦点作斜率为1的直线与椭圆相交于两点.求的面积.

【解析】（1）由椭圆的定义知，则

由，得，故.

∴椭圆C的方程为.

（2）设，由（1）知，则的方程为，

由得，

显然，，

∴.

∵点到直线的距离，

∴，故的面积为.

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，P为C上一点，，的面积为

(1)求C的方程;

(2)已知点，斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若的面积为，求l的方程.

【解析】（1）由题意可知，，

在中，由，得，

由，解得，

又由余弦定理得，，

化简得，即，

，从而，

所以，双曲线方程为.

（2）

设直线l的方程为，与双曲线相交于，，

联立化简可得，

由，可得，

，，

所以，，

设点到直线l的距离为d，则，

故，解得

故l的方程为.

题型四：斜率之和差商积问题

7．已知椭圆的上顶点为，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设B为椭圆C的下顶点，动点M到坐标原点O的距离等于1（M与A，B不重合），直线A