函数的极值与最大最小值.pptxVIP

函数极值及其求法函数最值及其求法函数最值在经济中的应用第五节函数的极值与最大最小值

一、函数极值及其求法oxyy=?(x)Mmab设函数y=?(x)在[a?b]内图形如下图:而在处的函数值比它附近各点的函数值都要大;但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,而且比它附近各点的函数值都要小;

定义1为此,我们引入函数极值与极值点的概念.1.极值的定义x=x0称为?(x)的极大值点.,则称为函数?(x)的极小值.称为?(x)的极小值点.,则称为函数?(x)的极大值.恒有内有定义，设y=?(x)在邻域

极值的研究是微积分产生的主要动力之一

我们将函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与极小值点统称极值点.注3由极值定义知:极值是函数的局部性态.它只是极值点的函数值与极值点附近的函数值相比较而言的,故它只可能在(a,b)的内部取得.注4在闭区间[a,b]内,一个连续函数可能有若干个极小值或极大值,却最多只有一个最大值M与最小值m,而且最大值一定在极大值点或端点取得,最小值一定在极小值点或端点取得.注1x0为极值点,?(x0)为极值,极值是极值点处的函数值.注2在区间(a,b)极值不一定是最值,但最值一定是极值.

2.极值的必要条件定理1(极值的必要条件(费马定理))设函数y=?(x)在点x0处可导.若x0为的极值点,(即为极值).则x0为函数的驻点,即证设为极值(不妨设为极大值),则存在x0的一邻域当时,有当时,有当时,有

注2定理条件是必要而非充分的,即可导函数的极值点一定是导数为0的点,导数不为0的点一定不是极值点.反过来,导数为0的点可能是极值点可能不是(驻点未必是极值点),所以我们要找极值点可先从导数为0的点中找.注1定理的几何意义:可导函数的图形在极值点处的切线是与x轴平行的(罗尔定理).oxy则x=0为f(x)=x3的驻点.但是,x=0不是f(x)=x3的极值点.如注3并不是所有驻点包含了所有的极值点,极值点还可能出现在导数不存在的点处(即导函数无意义的点).

如函数y=|x|,x=0是函数的连续不可导点.但x=0是函数的极小值点.如图.oxy=|x|y注4综上所述,函数的极值点应从导数为0和导数不存在的点中找,这些点包含了所有的极值点.(是极值点情形)(不是极值点情形)

定理2(极值存在的第一充分条件)设函数y=?(x)在3.极值存在的充分条件内连续,在内可导.根据如下定理对导数为0和导数不存在的点判别是否为极值点.

此定理可简单叙述为:设x0为连续函数?(x)的可能极值点,若若在x0的两侧保号,则x0不是?(x)的极值点.证由极值的定义及定理1可证.当x从x0左侧变到右侧时,变号,则x0为?(x)的极值点.求极值的步骤:

例1求函数解

x故函数有极大值函数有极小值?(1)=0.

此函数的单调性在前面已讨论,现重新列表如下:x故函数有极大值?(0)=0.函数有极小值解练一练

例2求函数解的单调区间和极值.

故x=0为f(x)的极小值点.为直观列表如下：由上表可看出,函数?(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增,且?(x)的极小值为当函数在驻点处的二阶导数存在且不为0时,也可用下面定理来判定?(x)在驻点处取得极大值还是极小值.x

利用二阶导数判断极值点的另一种方法：定理3(极值存在的第二充分条件)证及极限的保号性定理知只证(1)由于设函数y=?(x)在点x0处的二阶导数存在,若则x0是函数?(x)的极值点;值.且时,则x0处为极小值点;为极小值;时,则x0处为极大值点;为极大值.为函数的极

则由定理2知,?(x)在x0处取得极小值.的邻域内由负变到正,

从而当时,定理4失效,只能改用定理3确定.注2定理