提优点6　奔驰定理与三角形四心.docxVIP

奔驰定理与三角形四心

【知识拓展】

1.奔驰定理

如图，已知P为△ABC内一点，则有S1·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S2·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S3·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0(其中S1，S2，S3分别为△PBC，△PAC，△PAB的面积).

2.三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明)

【类型突破】

类型一利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题

例1(1)已知O是△ABC内部一点，满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(4,7)，则实数m＝()

A.2 B.3

C.4 D.5

(2)已知点A，B，C，P在同一平面内，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，则S△ABC∶S△PBC＝()

A.14∶3 B.19∶4

C.24∶5 D.29∶6

训练1设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________.

类型二奔驰定理和三角形的四心(四心在三角形内部)

考向1奔驰定理与重心

例2已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56aeq\o(GA,\s\up6(→))＋40beq\o(GB,\s\up6(→))＋35ceq\o(GC,\s\up6(→))＝0，则角B＝________.

考向2奔驰定理与外心

例3已知点P是△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))＝0，C＝eq\f(2π,3)，则λ＝________.

考向3奔驰定理与内心

例4(2024·开封调研)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，则3λ＋6μ的值为()

A.1 B.2

C.3 D.4

考向4奔驰定理与垂心

例5(2024·重庆质检)已知H是△ABC的垂心，若eq\o(HA,\s\up6(→))＋2eq\o(HB,\s\up6(→))＋3eq\o(HC,\s\up6(→))＝0，则角A＝________.

易错提醒涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.

训练2(1)设I为△ABC的内心，且2eq\o(IA,\s\up6(→))＋3eq\o(IB,\s\up6(→))＋eq\r(7)eq\o(IC,\s\up6(→))＝0，则角C＝________.

(2)设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝eq\f(π,6)，如图.若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为eq\f(1,2)，x，y，则x＋y的最大值是________.

【精准强化练】

一、单选题

1.点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为()

A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9) B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)

C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9) D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)

2.点P在△ABC内部，满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC＝()

A.2∶1 B.3∶2

C.3∶1 D.5∶3

3.已知O是△ABC内一点，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2且