专题：著名的不等式应用问题 重点练 2026年高考数学复习备考（含答案）.docxVIP

专题：著名的不等式应用问题重点练

2026年高考数学复习备考

一、单选题

1．若，，其中都是正数，则A与B的大小关系为（????）

A． B． C． D．

2．设是的一个排列，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

3．已知，且，则的最小值为（????）

A．1 B．3 C．6 D．9

4．若实数，则的最小值为（????）

A．14 B． C．29 D．

5．在中，的最大值是（????）

A． B．3 C． D．

6．若，且，则的值是

A． B． C．1 D．

7．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（）

A．14 B．12 C．10 D．8

8．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（????）

A．16 B．25 C．36 D．49

9．柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（???）

A． B． C． D．

二、填空题

10．中角，，所对的边分别为，，，已知，为的点，且，，则的最大值为

11．已知正数，，满足，则的最小值为

12．已知平面向量，，满足，，且．记平面向量在，方向上的数量投影分别为，，向量在方向上的数量投影为，则对任意满足条件的向量，代数式的最小值是．

13．在锐角中，的最小值为．

14．设α，β，γ分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则sin的取值范围为.

15．已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为．

三、解答题

16．若均为锐角，且满足.求证:.

17．已知函数，的最小值为，且正实数满足，证明：.

18．已知.

(1)解不等式；

(2)若为的最小值，设，求的最小值.

19．已知，，求的最值?

参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

答案

C

C

D

B

D

D

A

B

B

1．C

【分析】利用排序不等式来比较大小即可.

【详解】依序列的各项都是正数，不妨设，

则为序列{xn}的一个排列.

由排序不等式，得，

即，当且仅当时，取等号，

故选：C.

2．C

【分析】由排序不等式可得答案

【详解】因为是的一个排列，

由排序不等式得，

，

∴的取值范围是

故选：C.

3．D

【分析】利用柯西不等式即可得解.

【详解】，，

，

当且仅当时等号成立，

则的最小值为.

故选：D.

4．B

【分析】直接利用柯西不等式得到答案.

【详解】根据柯西不等式：，即，

当且仅当，，时等号成立.

故选：B.

【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.

5．D

【分析】运用琴生不等式计算即可.

【详解】因为在区间上是凸函数，根据琴生不等式可得，

，

得，

当且仅当时等号成立，

即的最大值是.

故选：D

6．D

【详解】由柯西不等式，

由取等条件知.

7．A

【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可.

【详解】因为，

根据题目中柯西不等式的三元形式可知，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值是，

故选：A

8．B

【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.

【详解】因a，b，x，y0，则，当且仅当时等号成立，

又，即，

于是得，当且仅当，即时取“=”，

所以函数的最小值为25.

故选：B

9．B

【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到与的关系，然后对所求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可.

【详解】设直线与曲线相切的切点为，

由得，则，即，

则，得，

所以，代入得，

因为，所以

，

因为，

所以，当且仅当，即等号成立.

故选：B.

10．

【分析】根据在中根据互补，余弦和为0，由余弦定理可得，再结合柯西不等式或者利用三角换元方法求得.

【详解】

由得，即，

解法一：柯西不等式法

由柯西不等式可得，得，

当且仅当时，等号成立.

故的最大值为.

解法二：三角换元方法

，

，

最大值为.

故答案为：.

11．

【分析】根据权方和不等式可得解.

【详解】因为正数，满足，

所以，

当且仅当即时取等号.

故答案为：.

12．/0.4

【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.

【详解】令，因为，故，，

令平面向量在方向上的投影分别为，

设，则：，

从而：，故

由柯西不等式可得

化简得，当且仅当，

即时取等号，故的最小值为．

故答案为：

13．