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数学教学要注重培养学生的创造性思维能力

广东省电白县教师进修学校廖坤望

创造性思维是一种具有新颖性和创造性的思维，而求异思维是培养创造性思维的一种重要手段，其主要特点有：独创性、多向性、灵活性和批判性。数学课程标准指出：“数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程，后者对发展能力更为重要。”下面谈谈在教学解题过程中，如何通过求异思维培养学生的创造性思维。

培养学生的独创性。

求异思维的独创性特征表现在：思维不落俗套，善于独辟蹊径，教学中经常注意引导学生突破固有的解题模式，寻找更优解法是培养独创性的重要手段。

例1有十七个兵兵球运动员参加个人冠军赛，比赛采取每输一场即予淘汰的淘汰制，问决出冠军一人共比赛几场？

学生常见的解题思路主要有二：

1认为这是排列组合问题，故试采用排列组合的方法去解。

2联系比赛常用安排方法，排出比赛图（略）

上述的解法，答案都是16场，但这两种方法或者不易求解，或者不易推广至一般情况。

分析上述思路都是基于“每两个人比赛一场”这一出发点。如果抓住“每输一场即予淘汰，”可知为决出冠军共有17－1=16个人被淘汰，故共比赛16场，容易将该解法推广至一般情况。

例2已知三角形的最小内角为30°，它的对边为2㎝，另外两个内角的差为60°，求最大边的长（要精确值）。

学生的思路多倾向于解三角形，如由

及=60°解出最大边，这是常见的解题模式，若启发学生抓住已知条件中两个特殊角（30°、60°），并利用几何图形，采用下法就有独到之处了。

ABDC

A

B

D

C

图1

∠A＞∠B,作∠DAB=∠B,

AD交BC于D，则

∠CAD=60°,∴∠ADC=90°,则BD=AD=,

CD=,所以最大边a=CD＋BD=＋(㎝)。

数学中的某些常见方法与结论，若能突破限制，从原有的范围延伸至相邻的有关内容，也就显得标新立异了。这种手法，其独创性常常在于发现两个或两个以上研究对象之间的联系或相似之点。这里以齐次线性方程组有非零解为例说明之。

设a、b、c都大于零，其中至少有一个不等于1，且axbycz=aybzcx=azbxcy=1,……(1)

证明：x=y=z或x+y+z=0

略证：由（1）得

xlga+ylgb+zlgc=0

ylga+zlgb+xlgc=0(2)

zlga+xlgb+ylgc=0

把（2）看作关于lga、lgb、lgc的齐次线性方程组，则其必有非零解，故有

xyz

=

=0

zxy

即（x+y+z）〔(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2〕=0

∴x+y+z=0或x=y=z

培养学生解题的多向性。

0BQx

0

B

Q

x

A

C

P

y

S

图4

y2=2PX(p＞0)于A、B、C（图4），

求证：AQ、SC、PB三线共点。

学生的思维受解析几何的限制，

极易想到先分别写出直线AQ、BP、CS的方程，

再用判定三线共点的通常方法去证。我们在教学中先引导学生作如下一些联想：

欲证AQ、BP、CS三线共点，可否对△SPQ用西瓦定理证

成立。

题设中S、P、Q均为抛物线两切线之交点，则S的坐标可用A、B的纵坐

标表达之：

,等等，能否由此而找到有关的比例式，从而沟通①的联想。

事实上，由题设易证

简证：过S任作直线，分别过A、P、C、Q、B作抛物线对称轴的平行线交于A′、P′、C′、Q′、B′（图5）

则

(令为a，下同)

C’Q0CPB

C’

Q

0

C

P

B

x

A

y

A’

P’

S’‘

Q’

B’

图5

∴

则：

再证例1：

证由③知

∵∴

∴AQ、SC、PB三线共点。

求证：1325＞25！

本例所给条件均为具体数字，学生首先想到的是下法：

分析欲证原式，即证

13·13·13………13＞1·2·3……25

25个

即证13·13·13……13＞（13－12）·（13－11）……（13－1）·13·（13＋1）……（13＋12），再分别证13·13＞（13－）（13+）（=1，2,……12），即可。

但此法的缺点：不能找到一般的结论，却是明显的。为此，在教学中引导学生从分析数字特点入手寻找一般结论。这里，左式的指数25在右式阶乘中再次出现，底数13可用25表示：，故可将不等式改写为＞25！，进而做出猜测：＞n！(nN)，至此问题就迎刃而解了。

∵＞

∴＞

则＞n！

显然，给n以特例，即可得相应的数字不等式，如令n=38时，有＞38！象这先证一般结论再证特例或先探求特例再导致一般结论的思维