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2025年菁优高考数学压轴训练19

一．选择题（共10小题）

1．（2024?安庆模拟）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点，，，是抛物线上两个不同的点，且，则

A． B． C． D．3

2．（2024?海州区校级模拟）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，已知，线段的垂直平分线经过点，则

A．2 B．4 C．6 D．8

3．（2024?成都三模）已知点，分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为

A．6 B． C． D．

4．（2024?李沧区校级一模）已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是

A． B． C． D．

5．（2024?启东市校级模拟）已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于，两点，则的最小值为

A． B．4 C． D．6

6．（2024?海陵区校级模拟）过抛物线焦点且斜率为的直线与交于、两点，若为的内角平分线，则面积最大值为

A． B． C． D．16

7．（2024?广东模拟）抛物线的焦点为，过的直线交该抛物线于、两点，则的最小值为

A．8 B．9 C．10 D．11

8．（2024?辽宁模拟）已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，分别与抛物线相交于点，和点，，，是抛物线上一点，且，从点引抛物线的准线的垂线，垂足为，则的内切圆的周长为

A． B． C． D．

9．（2024?海南模拟）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则

A． B．1 C．2 D．4

10．（2024?青羊区校级模拟）已知抛物线的焦点为，直线且交于，两点，直线，分别与的准线交于，两点，为坐标原点），下列选项正确的有

A．且 B．且，

C．且 D．且

二．多选题（共5小题）

11．（2024?盐湖区一模）抛物线的焦点为，，、，是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则

A．若，则直线的斜率为或

B．若，则

C．若和不平行，则

D．若，则的最大值为

12．（2024?回忆版）抛物线的准线为，为上的动点，过作的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则

A．与相切

B．当，，三点共线时，

C．当时，

D．满足的点有且仅有2个

13．（2024?南关区校级模拟）已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上在第一象限），点在上，以为直径的圆过焦点，，则

A．若，则 B．若，则

C．，则 D．，则

14．（2024?永州三模）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则

A．的最小值为2

B．当直线的斜率为时，

C．设直线，的斜率分别为，，则

D．过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则

15．（2024?姜堰区校级模拟）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，，，两点，为坐标原点，抛物线的焦点为，则

A．

B．点与抛物线上任意一点的最短距离为4

C．的最小值为32

D．的最小值为11

三．填空题（共5小题）

16．（2024?合肥模拟）抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以点为圆心，以为半径的圆与交于点，，与轴交于点，，若，则．

17．（2024?淮北模拟）已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数．

18．（2024?西城区校级模拟）设点，在抛物线上，已知，．若，则；若，则直线斜率的最小值为．

19．（2024?雁峰区校级模拟）已知为抛物线上的动点，动点满足到点的距离与到点是的焦点）的距离之比为，则的最小值是．

20．（2024?河北一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，的中点为，以为直径的圆与轴交于，两点，当取最大值时，此时．

四．解答题（共5小题）

21．（2024?朝阳区校级模拟）已知为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，．

（1）求抛物线的方程；

（2）若点，连接，，证明：；

（3）已知圆以为圆心，1为半径，过作圆的两条切线，与轴分别交于点，且，位于轴两侧，求面积的最小值．

22．（2024?昌乐县校级模拟）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．

（1）若直线与轴的交点为，求证：；

（2）过点作的垂线与直线交于点，求证：．

23．（2024?四川模拟）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，为的中点，且点到抛物线的准线距离的最小值为2．

（1）求抛物线的方程；

（2）设抛物线在，两点的切线相交于点，求点的横坐标．

24．（2024?安徽模拟）已知为抛物线的焦点，为坐标原