插值与曲线拟合.pptVIP

5.7三次样条插值*高次插值不仅计算复杂,而且可能出现Runge现象.采用分段插值虽然计算简单、也有一致收敛性,但不能保证整条曲线在连接点处的光滑性:如分段线性插值,其图形是锯齿形的折线,虽然连续,但插值节点处都是“尖点”,因而一阶导数都不存在,这在实用上,往往不能满足某些工程技术的高精度要求。生产中〔如船体、飞机等外形曲线的设计中〕不仅要求曲线连续,而且要有二阶光滑度,即有连续的二阶导数。这就要求分段插值函数在整个区间上具有连续的二阶导数。第94页，共145页，星期日，2025年，2月5日5.7.1三次样条函数定义5.4.设函数定义在区间?a,b?上，给定n+1个节点和一组与之对应的函数值，若函数满足:（1）在每个节点上满足S(xi)=f(xi)(i=0,1,…,n)（2）在?a,b?上有连续的二阶导数（3）在每个小区间?xi,xi+1?(i=0,1,…,n-1)上是一个三次多项式。则称S(x)为三次样条插值函数。第95页，共145页，星期日，2025年，2月5日其中四个待定系数为,子区间共有n个所以要确定S(x)需要4n个待定系数。另一方面,要求分段三次多项式S(x)及其导数和在整个插值区间?a,b?上连续,则要求它们在各个子区间的连接点上连续，即满足条件由样条函数的定义可知,三次样条插值函数S(x)是一个分段三次多项式,要求出S(x),在每个小区间?xi,xi+1?上要确定4个待定参数,若用Si(x)表示它在第i个子区间?xi,xi+1?上的表达式，则第96页，共145页，星期日，2025年，2月5日（1）??????插值条件(5.29)（2）??????连接条件(5.30)式(5.29),(5.30)共给出了4n-2个条件,而待定系数有4n个,因此还需要2个条件才能确定S(x),通常在区间端点上各加一个条件,称为边界条件,常用边界条件有三种类型。第97页，共145页，星期日，2025年，2月5日第一种类型：给定两端点f(x)的一阶导数值：第二种类型：给定两端点f(x)的二阶导数值：作为特例,称为自然边界条件。满足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。第三种类型：当f(x)是以为周期的函数时，则要求S(x)也是周期函数,这时边界条件应满足当时，第98页，共145页，星期日，2025年，2月5日由上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间?xi,xi+1?上的表达式S(xi）(i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。第99页，共145页，星期日，2025年，2月5日5.7.2三次样条插值函数的求法设S(x)在节点xi处的二阶导数为因为在子区间?xi-1,xi?上是三次多项式,所以在此小区间上是x的线性函数,且因为,用线性插值,可知其表达式为记，则有第100页，共145页，星期日，2025年，2月5日其中,Ai,Bi为积分常数,可利用插值条件确定,即要求Ai,Bi满足并记，则得连续两次积分得(5.31)将其代入（5.31）即得第101页，共145页，星期日，2025年，2月5日（5.32）由上讨论可知,只要确定这n+1个值,就可定出三样条插值