【课件】等式的性质与方程的解集+课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册.pptxVIP

2.1.1等式的性质与方程解集;

掌握等式的基本性质，

学会利用等式的性质进行等式的基本边形

了解恒等式的定义，掌

握恒等式的证明方法

了解方程的解、解集的

定义，会求方程的解;;

尝试与发现

用符号语言和量词表示上述等式的性质：

(1)如果a=b,则对任意c,都有a+c=b+c;

(2)如果a=b,则对任意不为零的c,都有ac=bc.

因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个不为零的数等于乘以

这个数的倒数，所以上述等式性质中的“加上”与“乘以”,如果分别改为“减去”与“除以”,结论仍成立.;

L山山山l尝试与发现

补全下列(1)(2中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，

并说出分类的标准：

(1)a2—b2=(a+b)=(a—b)(平方差公式);

(2)(x+y)2=x2+2xy+y2(两数和的平方公式);

(3)3x—6=0;

(4)(a+b)c=ac+bc;

(5)m(m—1)=0;

(6)t3+1=(t+1)(t2—t+1).;

(1)a2—b2=(a+b)=(a—b);

(2)(x+y)2=x2+2xy+y2;

(3)3x—6=0;

(4)(a+b)c=ac+bc;

(5)m(m-1)=0;

(6)t3+1=(t+1)(t2—t+1).;

恒等式

一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，

则称其为恒等式，也称等式两边恒等.

恒等式是进行代数变形的依据之一.例如，因为(x+y)2=x2+2xy+y2对

任意x,y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x,y,等式仍会成立，若用一z替换其中的y,则

(x—z)2=x2+2x(一z)+(一z)2=x2—2xz+z2,

由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.;

解：(方法一)可以利用两数和的平方公式与两数差的平方

公式展开，然后合并同类项，即

(2x+1)2-(x-1)2

=4x2+4x+1-(x2-2x+1)

=3x2+6x.;

例1化简(2x+1)2—(x-1)2.

(方法二)可以将2x+1和x-1分别看成一个整体，然后

使用平方差公式，即

(2x+1)2-(x-1)2

=[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)]

=3x(x+2)

=3x2+6x.;

探索新知

下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x,a,b,都有

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.

这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可.

可以利用这个恒等式来进行因式分解.

给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则

x2+Cx+D=(x+a)(x+b).;

为了方便记忆，已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程，通常用下

图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C,也正因

为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.

例如，对于式子x2+5x+6来说，因为2×3=6且2+3

=5,所以x2+5x+6=(x+2)(x+3);;

探索新知

方程的解集

我们知道，方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一

般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.;

从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，

因此：如果ab=0,则a=0或b=0.;

典型例题

例2求方程x2—5x+6=0的解集.

解：因为x2—5x+6=0=(x-2)(x-3),

所以原方程可以化为(x-2)(x-3)=0,

从而可知x-2=0或x—3=0,

即x=2或x=3,因此所求解集为{2,3}.

本例说明：如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为(x—x?)(x—x?)=0

的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了。;

一元二次方程的解集中不一定有两个元素.

对于方程ax2+bx+c=0(a≠0),

当△=b2—4ac0时，方程有两不等实根

解集中有两个元素；

当△=b2—4ac=0时，解集中有一个元素；

当△=b2—4ac0时，方程无实根，解集中没有元素.;

能直接在等式ax=2;

例3求关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数.

解：当a≠0时，在等式ax=2的两边同时乘以,得

此时解集为

当a=0时，方程变为0x=2,这个方程无解，此时解集为?.

综上，当a≠0时，解集