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7/12/20251第四节系统的能观测性

§7.4系统的能观测性7/12/2025①直观概念：系统的能观测性指系统输出为时对状态的反映能力。一、能观测性定义：[例7-4-1]系统结构图如下：显然输出中只有，而无，所以从中不能确定，只能确定。我们称是可观测的，是不可观测的。

②能观测性定义：在给定控制输入作用下，对于任意初始时刻，若能在有限时间之内，根据从到系统输出的测量值，唯一地确定系统在时刻的状态，则称该系统是能观测的。只要有一个状态变量不能由输出唯一确定，则称系统是状态不能观测的。线性定常连续系统的动态方程为：

满秩。式中：7/12/2025对于下列单输出系统，是状态完全能观测的，称为能观测标准型。能观测性判据一：状态能完全观测的充要条件是能观测阵：二、能观测性判据：为维矩阵。

[例7-4-2]：7/12/2025，判断能观测性。[解]：所以，不论取何值，系统状态都是能观测的。

，试判断能控性和能观测性。7/12/2025从图上看，系统是能控且能观测的，但这是不可靠的。[解]：⑴先用信号流图看，信号流图如下：○○○○○○[例7-4-3]：某系统动态方程为：

⑵、用判据一判断，有：故系统状态不完全可观测。显然，不满秩，所以系统状态不完全可控。又这显然与直观感觉不符。

让我们来考察一下原因，先求上例状态方程的解：

状态空间可以分为可控状态子空间和不可控状态子空间。从上式可以看出：对作用的强度是一样的，符号相反。当时（能控性与初值无关），有：，也就是说，输入只能使得 ，在的空间，无能为力。所以，在整个状态空间，是状态不可控的。

又：所以，由输出只能确定，而不能单独确定系统是状态不能观测的。同样，状态空间可以分为可观测状态子空间和不可观测状态子空间。

能观测性判据二：7/12/2025类似于能控性判据，可以利用线性满秩变换将动态方程化为对角标准型或约当标准型，然后根据转换后的输出阵来判别原动态方程的能观测性。设系统的动态方程为：阵不影响能观测性①当具有互异的特征根时，做线性满秩变换： ，则新的动态方程可化为对角标准型。

令：则：由上式不难看出：只要阵中某一列元素全为零，则输出中就不存在（反映）对应的状态变量，那末该状态变量是不可观测的。如阵中的第一列元素全为零，则中都不含，即不能由求得，故是不能观测的。

若中没有一列元素全为零，则可观测。可以证明：若能观测，则能观测。[判据]线性定常连续系统中，具有相异的特征根，则系统状态完全能观测的充要条件是：系统经非奇异变换后的对角标准型的矩阵中不包含元素全为零的列。②当有重特征根时，做线性满秩变换，原动态方程可转化为约当标准型。

为叙述方便，设有四阶三输出系统，约当块阵

阵由上式看出，中与约当块相对应的是前三列。分析如下：①当第一列元素全为零时（），中无，不可观测；②当第一列元素不全为零，第二、第三列元素全为零时， 包含，系统状态完全可观测；③当第四列元素全为零时，中不包含，则不可观测。

线性满秩变换不改变系统的能观测性。所以状态也完全可观测。[归纳起来]：若阵中对应的每个约当块的第一列，无一列元素全为零，则状态完全可观测。

小结7/12/2025