高中数学讲义（人教A版必修二）：第05讲 平面向量的数量积（一）.pdfVIP

第5课平面向量的数量积（一）

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课程标准课标解读

1、通过阅读课本在向量前面知识学习的基础上进一步

1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力

了解向量数量积的物理背景，即物体在力尸的作用下产

F的作用下产生位移s所做的.

生位移$所做的.

2.掌握向量数量积的定义及投影向量.

2、理解和掌握句量数量积的定义与投影向量的概念与

3.会计算平面向量的数量积.

意义.

3、在认真学习的基础上，深刻掌握平面向量数量积的

意义，为后续学习空间向量数量积打好基础.

趣:知识精讲

知识点01两向量的夹角与垂直

1.夹角：已知两个非零向量a,b,。是平面上的任意一点，作次OB=h,则/八04=90（W虑兀）叫

做向量a与b的夹角如（图所示）.

B

当0=0时，。与力同向:当。=兀时，。与b反向.

2.垂直：如果a与b的夹角是与则称a与b垂直，记作a±b.

【即学即练1】已知⑷=步|=2,且。与力的夹角为60。，则。+力与。的夹角是多少？。一力与。的夹角又

是多少？

解析如图所示，作而=b,且NAO8=60。.

以苏，方为邻边作平行四边形0AC8,

则女=a+b,BA=a-b.

因为⑷=|例=2,

所以平行四边形0AC3是菱形，

又N4OB=60。，

所以比与晶的夹角为30。，放与晶的夹角为60。.

即a~\~b与a的夹角是30°,a—〃与a的夹角是60°.

反思感悟

求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”

的步骤求出.

知识点02向量数量积的定义

已知两个非零向量0,知它们的夹角为仇我们把数量MIWIcos0叫做向量a与b的数量积或（内积），记作ab,

即ab=\a\\b\cos0.

规定：零向量与任•一向量的数量积为0.

思考若aWO,且〃•力=0,是否能推出力=0?

答案在实数中，若〃W0,且。力=0,则。=0；但是在数量积中，若。工0,且ab=O,不能推出》=0.因

为其中。有可能垂直于。

【即学即练2]若⑷=3,步|=4,处方的夹角为135。,则〃仍等于（）

A.—3y[2B.—6,\2

C.6^2D.2

答案B

知识点03投影向量

1.如图，设。，b是两个非零向量，AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换：过赢的起点A和终点8,分别

作而所在直线的垂线，垂足分别为A”B1,得到彳瓦，我们称上述变换为向量。向向量力的投影，彳瓦叫

做向量a在向量b上的投影向量.

:b；一

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