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第二章第6节：函数的微分
教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算
教学重点：微分的计算
教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算
教学内容：
微分的定义
图2-1计算函数增量是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。
图2-1
先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到（图2-1），问此薄片的面积改变了多少？
设此薄片的边长为，面积为，则是的函数：。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量自取得增量时，函数相应的增量，即
。
从上式可以看出，分成两部分，第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当时，第二部分是比高阶的无穷小，即。由此可见，如果边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可近似地用第一部分来代替。
一般地，如果函数满足一定条件，则函数的增量可表示为
，
其中是不依赖于的常数，因此是的线性函数，且它与之差
，
是比高阶的无穷小。所以，当，且很小时，我们就可近似地用来代替。
定义设函数在某区间内有定义，及x在这区间内，如果函数的增量
可表示为，①
其中是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即。
定理1函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是
。
设函数在点可微，则按定义有①式成立。①式两边除以，得。
于是，当时，由上式就得到
。
因此，如果函数在点可微，则在点也一定可导（即存在），且。
反之，如果在点可导，即
存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成
，
其中（当）。由此又有
。
点的纵坐标的相应增量。当很小时，比小得多。因此在点的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
微分运算法则及微分公式表
由，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当都可导）：
，
，
，
。
微分公式表：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
。
注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如：
，
，
，
。
复合函数微分法则
与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：
设及都可导，则复合函数的微分为
。
由于，所以，复合函数的微分公式也可以写成
或。
由此可见，无论是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时（即设为另一变量的任一可微函数时），微分形式并不改变。
例4求的微分
解
自我训练：（1），求。
（2），求。
（3）有一半径为的铁球，镀上0.01cm厚的银，问大约用多少体积的银。
小结：本节讲述了微分的定义，练习了微分的运算和利用微分作近似计算
希望大家熟记微分公式，为以后学习积分大好基础
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