2025年高考数学加练半小时-专题4第39练解三角形小题综合练.docxVIP

第39练解三角形小题综合练

一、单项选择题

1．(★)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝eq\f(\r(6),2)，b＝1，A＝eq\f(π,3)，则B等于()

A.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4) B.eq\f(π,4)

C.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3) D.eq\f(π,3)

答案B

解析因为在△ABC中，a＝eq\f(\r(6),2)，b＝1，A＝eq\f(π,3)，

由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(\r(6),2))＝eq\f(\r(2),2)，

因为B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,4)或B＝eq\f(3π,4)，

因为a＝eq\f(\r(6),2)1＝b，A＝eq\f(π,3)，

所以BA＝eq\f(π,3)，所以B＝eq\f(π,4).

2．(★)(2023·长沙模拟)在△ABC中，BC＝3，sinB＋sinC＝eq\f(\r(10),3)sinA，且△ABC的面积为eq\f(1,2)sinA，则A等于()

A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)

答案D

解析设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则a＝3，

因为sinB＋sinC＝eq\f(\r(10),3)sinA，

所以由正弦定理可得b＋c＝eq\f(\r(10),3)a＝eq\r(10)，

又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)sinA，解得bc＝1，

所以由余弦定理可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(?b＋c?2－2bc－a2,2bc)＝eq\f(10－2－9,2)＝－eq\f(1,2)，

因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(2π,3).

3．(★)如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为()

A．5eq\r(3)B．5eq\r(6)C.eq\f(5\r(3),2)D.eq\f(5\r(6),2)

答案D

解析在△ACD中，由余弦定理得

cosC＝eq\f(AC2＋CD2－AD2,2AC·CD)＝eq\f(49＋9－25,2×7×3)＝eq\f(11,14)，

因为C∈(0，π)，

所以sinC＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,14)))2)＝eq\f(5\r(3),14)，

在△ABC中，由正弦定理得

eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(AB,\f(5\r(3),14))＝eq\f(7,sin45°)，

解得AB＝eq\f(5\r(6),2).

4．(★)在△ABC中，设BC＝a，AB＝c，B为锐角，且满足lga－lgc＝lgsinB＝－lgeq\r(2)，则△ABC是()

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

答案D

解析由题可知lga－lgc＝lgsinB＝－lgeq\r(2).

因为lga－lgc＝lgeq\f(a,c)，－lgeq\r(2)＝lg(eq\r(2))－1＝lgeq\f(\r(2),2)，

所以lgeq\f(a,c)＝lgsinB＝lgeq\f(\r(2),2)，

得到eq\f(a,c)＝sinB＝eq\f(\r(2),2).

因为B是锐角，所以B＝45°，cosB＝eq\f(\r(2),2).

因为eq\f(a,c)＝eq\f(\r(2),2)，所以a2＝eq\f(1,2)c2，

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝eq\f(1,2)c2＋c2－2·eq\f(\r(2),2)c2·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2)c2＋c2－c2＝eq\f(1,2)c2，

所以a2＝b2＝eq\f(1,2)c2，所以a2＋b2＝c2.

因此△ABC是等腰直角三角形．

5．(★★)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝eq\f(π,3)，D为BC上一点，BD＝2DC，AD＝BD＝eq\f(\r(3),2)，则△ABC的面积为()

A.eq\f(3\r(3),32)B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(9\r(3),16)