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AdvancesinAppliedMathematics49(2012)391–396
ContentslistsavailableatSciVerseScienceDirect
AdvancesinAppliedMathematics
AcombinatorialproofofShapiro’sCatalanconvolution✩,✩✩
GáborV.Nagy
BolyaiInstitute,UniversityofSzeged,Szeged,H-6720,Hungary
articleinfo
Articlehistory:ShapiroprovedanelegantconvolutionformulainvolvingCatalan
Received24April2012numbersofevenindex.Thispapergivesacombinatorialproofof
Accepted6July2012hisformula.Inaddition,weshowthatitisequivalenttoanalter-
Availableonline1September2012
natingconvolutionformulaofcentralbinomialcoefficients.
©2012ElsevierInc.s.
MSC:
05A10
05A19
Keywords:
Catalannumbers
Shapiroconvolution
1.Introduction
InthispaperCndenotesthenthCatalannumberandBndenotesthenthcentralbinomialcoef-
ficient,i.e.Cn=12nandBn=2n.Unlessotherwisestated,allindices(i,j,k,andsoon)are
n+1nn
nonnegativeintegersinourformulas.
In2002,L.Shapirofoundthefollowingelegantidentity[3,p.123]:
Theorem1.
C2iC2j=4nCn.(1)
i+j=n
✩SupportedbytheTÁMOP-4.2.1/B-09/1/KONV-2010-0005project.
✩✩ThlicationissupportedbytheEuropeanUnionandco-fundedbytheEuropeanSocialFu
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