易错拔尖：矩形及其性质（解析版） (1).docxVIP

易错拔尖：矩形及其性质

易错点

对题意理解不透彻导致漏解（分类讨论思想）

1．（2020秋?金牛区校级月考）如图，已知线段AB＝8，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．

思路引领：利用分类讨论，当∠APB＝90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，易得∠PAB＝30°，利用含30°的直角三角形的性质即可求解；情况二：如图2，易得∠PBA＝30°，利用含30°的直角三角形的性质求得AP的长，再根据勾股定理即可求解；如图3，当∠BAP＝90°时，如图4，当∠ABP＝90°时，利用含30°的直角三角形的性质，以及勾股定理即可求解．

解：当∠APB＝90°时，分两种情况讨论，

情况一：如图1，

∵AO＝BO，

∴PO＝BO，

∵∠1＝60°，

∴△BOP为等边三角形，

∴∠OBP＝60°，

∴∠PAB＝30°，

∴BP=12AB＝

情况二：如图2，

∵AO＝BO，∠APB＝90°，

∴PO＝BO，

∵∠1＝60°，

∴∠B＝30°，

∴AP=12AB＝

在Rt△APB中，BP=AB2

当∠BAP＝90°时，如图3，

∵∠1＝60°，

∴∠AOP＝60°，

∴∠APO＝30°，

∴OP＝2AO＝8，

在Rt△OAP中，AP=OP2

在Rt△BAP中，BP=AP2

当∠ABP＝90°时，如图4，

∵∠1＝60°，

∴∠P＝30°，

∴OP＝2OB＝8，

在Rt△OBP中，BP=OP2

故答案为：4或43或47．

总结提升：本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线的性质，利用分类讨论，数形结合是解答此题的关键．

拔尖角度

角度1利用矩形的边角性质证线段相等

2．（2017?百色）矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．

求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；

（2）EG＝FH．

思路引领：（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；

（2）可证明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可．

解：

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵E、F分别是AD、BC的中点，

∴AE=12AD，CF=

∴AE＝CF，

∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）∵四边形AFCE是平行四边形，

∴CE∥AF，

∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF，

∵AD∥BC，

∴∠EDG＝∠FBH，

在△DEG和△BFH中，

∠DGE=∠BHF∠EDG=∠FBH

∴△DEG≌△BFH（AAS），

∴EG＝FH．

总结提升：本题考查了矩形的性质、平行四边形的判断和性质以及全等三角形的判断和性质，熟记矩形的各种性质是解题的关键．

角度2利用矩形的对角线性质求线段长

3．（2021?朝阳一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若AB＝4，∠AOB＝60°，求矩形ABCD的面积．

思路引领：（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；

（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝4，AC＝2OA＝8，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=AC2-AB

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，

∵BE＝DF，

∴OE＝OF，

在△AOE和△COF中，

OA=OC∠AOE=∠COF

∴△AOE≌△COF（SAS），

∴AE＝CF；

（2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，

∴OA＝OB，

∵∠AOB＝∠COD＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA＝AB＝4，

∴AC＝2OA＝8，

在Rt△ABC中，BC=AC2

∴矩形ABCD的面积＝AB?BC＝4×43=16

总结提升：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键．

角度3利用矩形的性质探究面积关系

4．（2021春?鼓楼区校级月考）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．

（以上材料来源：《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）

请根据该图完成这个推论的证明过程，求证：S矩形NFGD＝S矩形EBMF．

思路引领：根据矩形的性质一条对角线分成的两个三角形面积相等，在根据EG∥AB∥BC，△AEF面积＝△AN