【课件】函数与方程、不等式之间的关系（第2课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册.pptxVIP

3.2函数与方程、不等式之间的关系（第2课时）人教B版（2019）必修第一册第二章等式与不等式

学习目标理解零点存在定理，会判断零点所在区间01了解二分法求函数的近似零点02能解决二次函数零点分布问题03

探索新知尝试与发现关于x的一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)的求根公式为________；（有实根时）一元二次方程的求根公式为____________________________．一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式.

探索新知但是，对于次数大于或等于3的多项式函数(例如f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，其中a≠0)，以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事(事实上，数学家们已经证明：次数大于4的多项式方程，不存在求根公式)．那么，什么情况下一个函数一定存在零点呢？

探索新知尝试与发现如图所示，已知A，B都是函数y＝f(x)图象上的点，而且函数图象是连接A，B两点的连续不断的线，画出3种y＝f(x)的可能的图象．判断f(x)是否一定存在零点，总结出一般规律．

可以看出，函数f(x)在区间(a，b)中一定存在零点.探索新知函数零点存在定理?一般地，解析式是多项式的函数的图象都是连续不断的.需要注意的是，反比例函数的图象不是连续不断的.?在上述定理的条件下，只能判断出零点存在，不能确定零点的个数.

典型例题例6求证：函数f(x)＝x3－2x＋2至少有一个零点.??

探索新知尝试与发现如果在区间(－2，0)中任取一个数作为x0的近似值，那么误差小于多少？如果取区间(－2，0)的中点作为x0的近似值，那么误差小于多少？怎样才能不断缩小误差？如果在区间(－2,0)中任取一个数作为x0的近似值，误差小于2；如果取区间(－2,0)的中点作为x0的近似值，误差小于1．

探索新知一般地，求x0的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示．

探索新知当然，按照类似的方式继续算下去，可以得到精确度更高的近似值．

探索新知二分法上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法．在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)＜0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下：第一步：检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取，计算结束；如果不成立，转到第二步．?

探索新知二分法

探索新知这些步骤可用如图所示的框图表示.是否是否是否开始输入a，b，ε|b－a|≤2ε输出x1结束

典型例题例7已知函数f(x)＝x2＋ax＋1有两个零点，在区间(－1,1)上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数a的取值范围.解：因为函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，因此满足条件的函数图象的示意图如图(1)(2)所示.因此(2－a)(a＋2)＜0且|a|≥2，解得a＜－2或a＞2．不管哪种情况，都可以归结为

f(－1)f(1)＜0且≥1，

探索新知用信息技术求函数零点用GeoGebra中的root命令，可以方便地求得多项式函数的图象与x轴的交点坐标，从而得到对应函数的零点信息．例如，在“输入”对话框中输入“root［x^2－x－6］”后按回车键，将得到函数f(x)＝x2－x－6与x轴的两个交点A，B的坐标；输入“root［x^3－2x＋2］”后按回车键，将得到函数f(x)＝x3－2x＋2与x轴的交点C的坐标；

探索新知用信息技术求函数零点显示结果如图所示，其中的“未定义”表示没有交点．输入“root［x^3－2x＋2，1，2］”后按回车键，将得到函数f(x)＝x3－2x＋2，x∈［1，2］与x轴的交点的信息．A=(-2，0)B=(3，0)C=(-1.77，0)点D未定义--

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本节课学习了哪些知识点呢？1.函数零点存在定理；2.二分法求函数零点近似值.

感谢观看祝同学新学期新气象