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易错拔尖：三角形的中位线
易错点
忽视整体思想的应用而求不出中位线的长
1．（2019春?红塔区期中）如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．
思路引领：根据AC+BD＝24厘米，可得出出OA+OB＝12cm，再根据△OAB的周长是18cm，即可求出AB，依据EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵AC+BD＝24厘米，
∴OA+OB＝12cm，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB＝6cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF=12AB＝3
故答案为：3cm．
总结提升：本题考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的性质，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
拔尖角度
角度1利用三角形的中位线求线段的长
2．（2016春?梅河口市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，P是对角线AC的中点，M是AD的中点，N是BC的中点．
（1）若AB＝6，求PM的长；
（2）若∠PMN＝20°，求∠MPN的度数．
思路引领：（1）由题意可知PM是△ADC的中位线，进而可求出MP的长；
（2）易证△PMN是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求出∠MPN的度数．
解：（1）∵AB＝DC，AB＝6，
∴DC＝6，
∵点P是AC的中点，点M是AD的中点，
∴PM=12DC=12
（2）∵点P是AC的中点，点N是BC的中点，
∴PN=12
∵AB＝DC，
∴PM＝PN，
∴∠PNM＝∠PMN＝20°，
∴∠MPN＝180°﹣∠PMN﹣∠PNM＝140°．
总结提升：此题主要考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
角度2利用三角形的中位线巧证线段间的数量关系
3．（2021春?浦城县月考）已知：如图，E为?ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
思路引领：本题可先证明△ABF≌△ECF，从而得出BF＝CF，这样就得出了OF是△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系．
解：AB＝2OF，AB∥OF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，OA＝OC．
∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF．
∵CE＝DC，
在平行四边形ABCD中，CD＝AB，
∴AB＝CE．
∴在△ABF和△ECF中，
∠BAF=∠CEFAB=CE
∴△ABF≌△ECF（ASA），
∴BF＝CF．
∵OA＝OC，
∴OF是△ABC的中位线，
∴AB＝2OF，AB∥OF．
总结提升：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定及三角形的中位线定理，综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．
角度3利用三角形中位线巧证角相等（构造中位线法）
4．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，G，H分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线分别交GH的延长线于点E，F．求证：∠AEH＝∠F．
思路引领：连接AC，并取其中点M，得到中位线HM、GM，根据三角形中位线的性质，得到HM和GM的大小关系，从而得到∠MHG和∠MGH的关系；再次根据中位线所得的平行关系，得到∠MHG和∠F、∠MGH和∠AEH的关系，利用等量代换即可得证．
证明：如图，连接AC，取AC的中点M，连接HM，GM．
∵H是AD的中点，M是AC的中点，
∴HM∥CD，HM=12
∴∠MHG＝∠F．
同理：GM∥AB，GM=12
∴∠MGH＝∠AEH．
又∵AB＝CD，
∴GM＝HM，
∴∠MHG＝∠MGH，
∴∠AEH＝∠F．
总结提升：本题主要考查三角形的中位线性质定理，熟练运用三角形的中位线定理进行线段转换是解此题的关键，构造合理的辅助线是难点．
角度2利用三角形中位线巧证线段相等（构造平行四边形法）
5．（2020春?清河区校级期中）已知，如图平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于点G，求证：GF＝GC．
思路引领：取BE的中点H，连接FH、CH，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形EFHC为平行四边形即可得出结论．
证明：取BE的中点H，连接FH、CH，如图所示：
∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，
∴FH∥AB且FH=12
又∵点E是DC的中点，
∴EC=12
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝DC，
∴FH＝EC，
又∵AB
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