新高一暑假数学衔接讲义 预备知识08 二次函数与一元二次方程、不等式（原卷版）.docxVIP

专题08预备知识八：二次函数与一元二次方程、不等式

1、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义

2、借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性

3、能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题，提升数学运算素养

知识点一：一元二次不等式的有关概念

1、一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：

①（其中均为常数）

②（其中均为常数）

③（其中均为常数）

④（其中均为常数）

2、一元二次不等式的解与解集

使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.

将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.

知识点二：四个二次的关系

2.1一元二次函数的零点

一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．

2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.

判别式

二次函数(的图象

一元二次方程

()的根

有两个不相等的实数根，()

有两个相等的实数根

没有实数根

()的解集

()的解集

知识点三：一元二次不等式的解法

1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

2：写出相应的方程，计算判别式：

①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；

②时，求根；

③时，方程无解

3：根据不等式，写出解集.

知识点四：解分式不等式

4.11、分式不等式

4.1.1定义：

与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。

4.1.2分式不等式的解法

①移项化零：将分式不等式右边化为0：

②

③

④

⑤

对点特训一：一元二次不等式（不含参）的求解

典型例题

例题1．（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集是（????）

A． B．

C．或 D．

例题2．（23-24高一上·北京·期中）求下列关于的不等式的解集.

(1)

(2)

精练

1．（2024高三·全国·专题练习）不等式－x2－2x＋3≥0的解集为（???）

A．{x|x≥－3} B．{x|x≥1}

C．{x|x≤2} D．{x|－3≤x≤1}

．（23-24高一上·北京·期中）解关于的不等式.

(1);

(2)

对点特训二：一元二次不等式（含参）的求解

角度1：二次项系数不含参数

典型例题

例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：.

例题2．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数的不等式：．

（2）解关于实数的不等式：．

精练

1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（????）

A． B．

C．或 D．或

2．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知函数．

(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；

(2)解关于x的不等式．

角度2：二次项系数含参

典型例题

例题1．（多选）（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（????）

A．或 B．

C． D．

例题2．（23-24高一上·北京·期中）（1）若命题“R，”是真命题，求实数a的取值范围；

（2）求关于的不等式的解集．

精练

1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）解关于的不等式．（只需结果，不需过程）

可因式分解为．

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为．

2．（2024高三·全国·专题练习）设函数

(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；

(2)解关于的不等式：．

对点特训三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系

典型例题

例题1．（多选）（2023高一上·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（????）

A．

B．不等式的解集为

C．不等式的解集为

D．

例题2．（2